Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜstel Fonksiyon Tanımı ve Özellikleri
f(x)=(−a2+6a−4)xf(x) = (-a^2 + 6a - 4)^x

fonksiyonu gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir üstel fonksiyondur.

Buna göre,

I. aa parametresinin alabileceği 3 farklı tam sayı değeri vardır.
II. f(x)f(x) azalan bir fonksiyon ise aa parametresinin alabileceği en büyük tam sayı değeri 5'tir.
III. aa bir tam sayı olmak üzere, f(x)f(x) fonksiyonu daima artandır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    I ve II
  3. C
    Yalnız III
  4. I ve IIICevap
  5. E
    I, II ve III

Cevap

I ve III
Üstel fonksiyon tanımına göre taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. Bu koşullardan a∈(3−5,3+5)∖{1,5}a \in (3 - \sqrt{5}, 3 + \sqrt{5}) \setminus \{1, 5\} elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar 2, 3 ve 4 olup toplamda 3 tanedir, bu yüzden birinci ifade doğrudur. Fonksiyonun azalan olması için tabanın 0 ile 1 arasında olması gerekir, bu durumda aa parametresi (3−5,1)∪(5,3+5)(3 - \sqrt{5}, 1) \cup (5, 3 + \sqrt{5}) aralığında olmalıdır. Bu aralıkta hiçbir tam sayı bulunmaz ve a=5a=5 değeri tabanı 1 yaptığından üstel fonksiyon tanımına aykırıdır, bu yüzden ikinci ifade yanlıştır. aa parametresinin alabileceği tam sayı değerleri olan 2, 3 ve 4 için taban değerleri sırasıyla 4, 5 ve 4 olup hepsi 1'den büyük olduğundan fonksiyon her durumda artandır, bu yüzden üçüncü ifade de doğrudur. Dolayısıyla birinci ve üçüncü ifadelerin doğru olduğunu belirten seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyonun taban şartlarını belirleme
Taban b(a)=−a2+6a−4b(a) = -a^2 + 6a - 4 olmak üzere, b(a)>0b(a) > 0 ve b(a)≠1b(a) \neq 1 olmalıdır.
Bir fonksiyonun üstel fonksiyon belirtebilmesi için tabanının pozitif bir gerçel sayı olması ve 1'e eşit olmaması gerekir.
2
Tabanın pozitif olması şartını (b(a)>0b(a) > 0) çözme
a2−6a+4<0  ⟹  a∈(3−5,3+5)a^2 - 6a + 4 < 0 \implies a \in (3 - \sqrt{5}, 3 + \sqrt{5}) aralığı elde edilir.
a2−6a+4=0a^2 - 6a + 4 = 0 denkleminin kökleri 3±53 \pm \sqrt{5}'tir. Eşitsizlik tablosu yapıldığında bu köklerin arası negatif bölgeyi verir.
3
Tabanın 1'den farklı olması şartını (b(a)≠1b(a) \neq 1) çözme
a2−6a+5≠0  ⟹  (a−1)(a−5)≠0  ⟹  a≠1a^2 - 6a + 5 \neq 0 \implies (a-1)(a-5) \neq 0 \implies a \neq 1 ve a≠5a \neq 5 olmalıdır.
Taban 1 olduğunda fonksiyon üstel fonksiyon belirtmez, sabit fonksiyon belirtir.
4
Tanım kümesini birleştirme ve tam sayı değerlerini bulma (I. öncül kontrolü)
a∈(3−5,3+5)∖{1,5}a \in (3 - \sqrt{5}, 3 + \sqrt{5}) \setminus \{1, 5\}. 5≈2.24\sqrt{5} \approx 2.24 olduğundan aralık yaklaşık (0.76,5.24)∖{1,5}(0.76, 5.24) \setminus \{1, 5\} olur. Bu aralıktaki tam sayılar {2,3,4}\{2, 3, 4\}'tür (toplam 3 adet).
Elde edilen iki şartın kesişimi alınarak aa parametresinin tanım kümesi bulunur ve bu kümedeki tam sayılar sayılır. Birinci öncül doğrudur.
5
Azalanlık şartını inceleme (II. öncül kontrolü)
Azalan olması için 0<b(a)<10 < b(a) < 1 olmalıdır. Buradan a∈(3−5,1)∪(5,3+5)a \in (3 - \sqrt{5}, 1) \cup (5, 3 + \sqrt{5}) aralığı elde edilir. Bu aralıkta hiçbir tam sayı değeri yoktur. a=5a=5 değeri tabanı 1 yaptığından tanım kümesinde değildir.
Azalan üstel fonksiyonlarda taban 0 ile 1 arasında olmalıdır. Elde edilen aralıktaki tam sayı varlığı kontrol edilir. İkinci öncül yanlıştır.
6
Tam sayı parametreleri için artanlığı inceleme (III. öncül kontrolü)
a∈{2,3,4}a \in \{2, 3, 4\} için sırasıyla tabanlar b(2)=4>1b(2)=4 > 1, b(3)=5>1b(3)=5 > 1 ve b(4)=4>1b(4)=4 > 1 olur. Tabanlar daima 1'den büyük olduğundan fonksiyon daima artandır.
Tabanın 1'den büyük olması fonksiyonun artan olmasını sağlar. Tam sayı değerlerinin tamamı için bu durum sağlandığından üçüncü öncül doğrudur.

Anahtar Kavram

Bir üstel fonksiyonun tabanı pozitif ve 1'den farklı bir gerçel sayı olmalıdır. Taban 1'den büyükse fonksiyon artan, 0 ile 1 arasında ise azalandır.
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel Fonksiyon Tanımı ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru