Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
a<b<c<da < b < c < d olmak üzere,
log⁡13(log⁡2(x2−5))≥0\log_{\frac{1}{3}} \left( \log_2(x^2 - 5) \right) \geq 0
eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi [a,b)∪(c,d][a, b) \cup (c, d] olduğuna göre, a2+b2+c2+d2a^2 + b^2 + c^2 + d^2 toplamı kaçtır?

Cevap: 26

Cevap

Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesinin sınır değerlerinin kareleri toplamı 26'dır.
Verilen nested (iç içe) logaritmik eşitsizlikte hem en içteki ifadenin pozitifliği (x2−5>0x^2-5 > 0) hem de dıştaki logaritmanın argümanının pozitifliği (log⁡2(x2−5)>0  ⟹  x2>6\log_2(x^2-5) > 0 \implies x^2 > 6) sağlanmalıdır. Eşitsizlik çözülürken taban 1/3<11/3 < 1 olduğundan yön değiştirilir ve log⁡2(x2−5)≤1  ⟹  x2≤7\log_2(x^2-5) \leq 1 \implies x^2 \leq 7 bulunur. Koşulların kesişiminden 6<x2≤76 < x^2 \leq 7 elde edilir. Bu aralık [−7,−6)∪(6,7][-\sqrt{7}, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \sqrt{7}] biçiminde olup sınır değerlerinin kareleri toplamı 7+6+6+7=267 + 6 + 6 + 7 = 26 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İçteki logaritmanın tanım kümesini belirlemek
x2−5>0  ⟹  x2>5x^2 - 5 > 0 \implies x^2 > 5
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanı sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Dıştaki logaritmanın tanım kümesini belirlemek
log⁡2(x2−5)>0  ⟹  x2−5>20  ⟹  x2>6\log_2(x^2 - 5) > 0 \implies x^2 - 5 > 2^0 \implies x^2 > 6
Dıştaki logaritmanın argümanı olan log⁡2(x2−5)\log_2(x^2 - 5) ifadesi sıfırdan büyük olmalıdır.
3
Logaritmik eşitsizliği çözmek
log⁡2(x2−5)≤(13)0  ⟹  log⁡2(x2−5)≤1  ⟹  x2−5≤21  ⟹  x2≤7\log_2(x^2 - 5) \leq (\frac{1}{3})^0 \implies \log_2(x^2 - 5) \leq 1 \implies x^2 - 5 \leq 2^1 \implies x^2 \leq 7
Logaritmanın tabanı 1'den küçük olduğundan dış logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir. İç logaritmanın tabanı 1'den büyük olduğundan yön değişmez.
4
Tanım kümesi ile çözüm kümesini kesiştirip sın��r değerlerin kareleri toplamını hesaplamak
6<x2≤7  ⟹  x∈[−7,−6)∪(6,7]6 < x^2 \leq 7 \implies x \in [-\sqrt{7}, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \sqrt{7}]. Buradan a=−7a = -\sqrt{7}, b=−6b = -\sqrt{6}, c=6c = \sqrt{6}, d=7d = \sqrt{7} elde edilir. Kareler toplamı: (−7)2+(−6)2+(6)2+(7)2=7+6+6+7=26(-\sqrt{7})^2 + (-\sqrt{6})^2 + (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{7})^2 = 7 + 6 + 6 + 7 = 26 bulunur.
Bulunan tüm eşitsizlik koşullarının ortak kesişim kümesi alınarak en geniş çözüm aralığı belirlenir ve sınır değerlerin kareleri toplanır.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerin çözümünde tabanın 1'den küçük veya büyük olmasına göre yön değiştirme kuralı ve logaritmanın tanımlı olma şartlarının kesiştirilmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru