Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Dar açılı bir ABCABC üçgeninin iç açılarının ölçüleri AA, BB ve CC radyandır.

Buna göre, tanımlı olduğu değerler için

sin⁡(A+B)−cos⁡(3π2−C)sin⁡(5π2+C)−cos⁡(π−C) \frac{\sin(A+B) - \cos\left(\frac{3\pi}{2} - C\right)}{\sin\left(\frac{5\pi}{2} + C\right) - \cos(\pi - C)}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    −tan⁡C-\tan C
  2. B
    cot⁡C\cot C
  3. tan⁡C\tan CCevap
  4. D
    −cot⁡C-\cot C
  5. E
    00

Cevap

Verilen ifadenin en sade hali tanjant C olarak bulunur.
Dar açılı bir üçgende A+B+C=πA + B + C = \pi olduğundan A+B=π−CA + B = \pi - C olur ve sin⁡(A+B)=sin⁡(π−C)=sin⁡C\sin(A + B) = \sin(\pi - C) = \sin C elde edilir. Diğer ifadeler indirgendiğinde, cos⁡(3π2−C)=−sin⁡C\cos\left(\frac{3\pi}{2} - C\right) = -\sin C, sin⁡(5π2+C)=sin⁡(π2+C)=cos⁡C\sin\left(\frac{5\pi}{2} + C\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + C\right) = \cos C ve cos⁡(π−C)=−cos⁡C\cos(\pi - C) = -\cos C bulunur. Bu değerler verilen kesirde yerine yazıldığında pay 2sin⁡C2\sin C, payda 2cos⁡C2\cos C olur. Bölümün sonucu ise tanjant C olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin iç açılarının toplamı ilişkisini kullanarak A+BA+B açısını CC cinsinden yazıp sin⁡(A+B)\sin(A+B) ifadesini indirgeyin.
A+B+C=π  ⟹  A+B=π−CA+B+C = \pi \implies A+B = \pi - C olur. Buradan sin⁡(A+B)=sin⁡(π−C)=sin⁡C\sin(A+B) = \sin(\pi - C) = \sin C elde edilir.
ABCABC üçgeninin iç açıları toplamı π\pi radyandır. İkinci bölgede sinüs fonksiyonunun işareti pozitif olduğundan sin⁡(π−C)=sin⁡C\sin(\pi-C) = \sin C olur.
2
Paydaki cos⁡(3π2−C)\cos\left(\frac{3\pi}{2} - C\right) ifadesini indirgeyip payı düzenleyin.
cos⁡(3π2−C)=−sin⁡C\cos\left(\frac{3\pi}{2} - C\right) = -\sin C olur. Pay kısmı ise sin⁡C−(−sin⁡C)=2sin⁡C\sin C - (-\sin C) = 2\sin C haline gelir.
Açı üçüncü bölgededir. Üçüncü b��lgede kosinüs fonksiyonu negatif işaretlidir ve düşey eksende (270∘270^\circ) isim değiştirerek sinüse dönüşür.
3
Paydadaki sin⁡(5π2+C)\sin\left(\frac{5\pi}{2} + C\right) ve cos⁡(π−C)\cos(\pi - C) ifadelerini indirgeyin.
sin⁡(5π2+C)=sin⁡(π2+C)=cos⁡C\sin\left(\frac{5\pi}{2} + C\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + C\right) = \cos C ve cos⁡(π−C)=−cos⁡C\cos(\pi - C) = -\cos C olur. Payda kısmı ise cos⁡C−(−cos⁡C)=2cos⁡C\cos C - (-\cos C) = 2\cos C haline gelir.
5π2\frac{5\pi}{2} açısının esas ölçüsü π2\frac{\pi}{2} radyandır. İkinci bölgede sinüs fonksiyonu pozitif işaretlidir ve isim değiştirerek kosinüse dönüşür. π−C\pi - C açısı ikinci bölgededir, bu bölgede kosinüs negatif işaretlidir ve isim değiştirmez.
4
Bulunan pay ve payda değerlerini oranlayarak en sade biçime ulaşın.
2sin⁡C2cos⁡C=sin⁡Ccos⁡C=tan⁡C\frac{2\sin C}{2\cos C} = \frac{\sin C}{\cos C} = \tan C elde edilir.
Aynı açının sinüs değerinin kosinüs değerine oranı tanjant fonksiyonunu verir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Fonksiyonların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Bu konudan daha fazla soru