Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
log⁡13(x2−3x)+1log⁡2(x−2)−2≥0\frac{\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 3x) + 1}{\log_2(x - 2) - 2} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
  1. 9Cevap
  2. B
    12
  3. C
    14
  4. D
    15
  5. E
    20

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 9'dur.
Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı, logaritmanın tanım kümesi ve taban özelliklerine göre yapılan işaret tablosu sonucunda elde edilen [3+212,6)[\frac{3+\sqrt{21}}{2}, 6) aralığındaki tam sayılar olan 4 ve 5'in toplamı olan 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikte yer alan logaritmik ifadelerin tanımlı olması için gereken koşullar (tanım kümeleri) belirlenir.
x2−3x>0  ⟹  x(x−3)>0  ⟹  x<0x^2 - 3x > 0 \implies x(x-3) > 0 \implies x < 0 veya x>3x > 3 ve x−2>0  ⟹  x>2x - 2 > 0 \implies x > 2 bulunur. Bu iki koşulun kesişimi x>3x > 3 olarak elde edilir.
Logaritması alınan ifadelerin tanımlı olabilmesi için sıfırdan büyük olmaları zorunludur.
2
Payın kökünü bulmak için pay sıfıra eşitlenir.
log⁡13(x2−3x)+1=0  ⟹  log⁡13(x2−3x)=−1  ⟹  x2−3x=3  ⟹  x2−3x−3=0\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 3x) + 1 = 0 \implies \log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 3x) = -1 \implies x^2 - 3x = 3 \implies x^2 - 3x - 3 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri x=3±212x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2} dir. Tanım kümesine (x>3x > 3) uygun olan kök x=3+212≈3,79x = \frac{3 + \sqrt{21}}{2} \approx 3,79 dur.
Eşitsizliğin işaret tablosunda kullanılacak olan payın kökünün bulunması gerekir.
3
Paydanın kökünü bulmak için payda sıfıra eşitlenir.
log⁡2(x−2)−2=0  ⟹  log⁡2(x−2)=2  ⟹  x−2=4  ⟹  x=6\log_2(x - 2) - 2 = 0 \implies \log_2(x - 2) = 2 \implies x - 2 = 4 \implies x = 6 bulunur. Bu kök tanım kümesindedir ancak paydayı sıfır yaptığ�� için çözüm kümesine dahil edilmeyecektir.
Eşitsizliğin işaret tablosunda kullanılacak olan paydanın kökünün bulunması gerekir.
4
Bulunan kökler ve tanım kümesi göz önüne alınarak bir işaret tablosu oluşturulur.
Tabloda x>3x > 3 bölgesi incelenir. [3+212,6)[\frac{3+\sqrt{21}}{2}, 6) aralığında pay ve payda negatif olduğundan bölüm pozitif (≥0\geq 0) olur. Diğer aralıklarda ise negatif sonuç elde edilir. Dolayısıyla çözüm kümesi [3+212,6)[\frac{3+\sqrt{21}}{2}, 6) aralığıdır.
Rasyonel ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralığı belirlemek için işaret incelemesi yapılmalıdır.
5
Elde edilen çözüm kümesindeki tam sayılar belirlenir ve toplanır.
[3+212,6)≈[3,79,6)[\frac{3+\sqrt{21}}{2}, 6) \approx [3,79, 6) aralığındaki tam sayılar 4 ve 5'tir. Bu sayıların toplamı 4+5=94 + 5 = 9 olarak bulunur.
Soru kökünde istenen toplamı bulmak için çözüm kümesindeki tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Logaritmik Eşitsizliklerin Çözüm Kümesi ve Tanım Kümesi Kısıtlamaları

Alternatif Yöntem

Eşitsizliği sağlayan tam sayıları bulmak için tanım kümesi olan x>3x > 3 şartını sağlayan tam sayılar (4,5,6,7,…4, 5, 6, 7, \dots) teker teker eşitsizlikte yerine yazılarak da kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru