Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
log⁡12(x2−2x−3)≥−5+log⁡12(x−3) \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 2x - 3) \geq -5 + \log_{\frac{1}{2}}(x - 3) eşitsizliğini sağlayan kaç farklı xx tam sayı değeri vardır?

Cevap: 28

Cevap

Eşitsizliği sağlayan 28 farklı x tam sayı değeri vardır.
Logaritmanın tanım kümesi olan x > 3 koşulu ile azalan fonksiyondan kaynaklanan yön değiştirme sonucu elde edilen 3 <= x <= 31 eşitsizliğinin kesişimi 3 < x <= 31 aralığını verir. Bu aralıkta 28 adet tam sayı bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki logaritma ifadelerinin tanım kümelerini belirlemek.
x > 3
Logaritması alınan ifadelerin (x^2 - 2x - 3 ve x - 3) sıfırdan büyük olması gerektiğinden, bu iki koşulun kesişimi x > 3 aralığını verir.
2
Eşitsizliğin sağ tarafını tek bir logaritma altında birleştirmek.
−5+log⁡12(x−3)=log⁡12(32(x−3))-5 + \log_{\frac{1}{2}}(x-3) = \log_{\frac{1}{2}}(32(x-3))
-5 sayısı \log_{\frac{1}{2}}(32) olarak yazılabileceğinden logaritma toplama özelliği kullanılarak birleştirme yapılır.
3
Logaritma tabanının 1/2 olmasını dikkate alarak eşitsizliği çözmek.
3≤x≤313 \leq x \leq 31
Taban 0 ile 1 arasında olduğu için logaritmalar kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir: x^2 - 2x - 3 \leq 32(x-3). Bu eşitsizlik düzenlendiğinde (x-3)(x-31) \leq 0 elde edilir.
4
Tan��m kümesi ile eşitsizlik çözüm kümesini kesiştirmek.
3 < x \leq 31 aralığındaki tam sayılar (28 tane)
Tanım kümesi olan x > 3 ile elde edilen 3 \leq x \leq 31 aralığının kesişimi 3 < x \leq 31 aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların adedi 31 - 4 + 1 = 28 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru