\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 3x) \geq -2 eşitsizliğini sağlayan tüm x tam sayılarının toplamı … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 3x) \geq -2$ eşitsizliğini sağlayan tüm $x$ tam sayılarının toplamı $3$ 'tür.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen ifade doğrudur.

Logaritmik eşitsizliğin çözümü sürecinde hem tabanın basit kesir olması nedeniyle yön değiştirme kuralı hem de logaritmanın tanım kümesi kuralı doğru uygulanmış ve elde edilen tam sayıların toplamının

3

olduğu kesin olarak gösterilmiştir.

Adım Adım Çözüm

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için gereken tanım kümesi belirlenir.

x^2 - 3x > 0 \implies x(x-3) > 0 \implies x < 0

veya

x > 3

Logaritması alınan ifadenin sıfırdan büyük olması zorunludur.

Logaritmik eşitsizlik çözülür. Taban

0 < \frac{1}{2} < 1

(basit kesir) olduğundan eşitsizlik yönü tersine çevrilir.

x^2 - 3x \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \implies x^2 - 3x \leq 4

Taban

1

'den küçük olduğunda logaritma fonksiyonu azalandır.

Elde edilen ikinci dereceden eşitsizlik çarpanlarına ayrılarak çözüm kümesi bulunur.

x^2 - 3x - 4 \leq 0 \implies (x-4)(x+1) \leq 0 \implies x \in [-1, 4]

Kökler

-1

4

olup, başkatsayı pozitif olduğundan bu iki kök arasında ifade negatif veya sıfırdır.

Tanım kümesi koşulu ile eşitsizlikten elde edilen aralığın kesişimi alınarak gerçek çözüm kümesi oluşturulur.

([-1, 4]) \cap ((-\infty, 0) \cup (3, \infty)) \implies [-1, 0) \cup (3, 4]

Çözüm kümesindeki tüm elemanların logaritma fonksiyonunu tanımlı kılması şarttır.

Elde edilen çözüm kümesindeki tam sayı değerleri listelenir ve toplanır.

Tam sayılar:

-1

4

. Toplam:

-1 + 4 = 3

[-1, 0)

aralığındaki tam sayı

-1

(3, 4]

aralığındaki tam sayı

4

'tür. Bu değerlerin toplamı

3

olur.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın basit kesir olması durumunda eşitsizlik yönünün değişmesi ve logaritma tanım kümesinin (

f(x) > 0

) çözüm kümesine dahil edilmesi.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru