i^2 = -1 ve z bir karmaşık sayı olmak üzere, z \cdot (1 - i) + \bar{z} \cdot (2 + i) = 5 - i \neşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, z karmaşık sayısının gerçel kısmı kaçtır?

i^2 = -1 ve z bir karmaşık sayı olmak üzere, z \cdot (1 - i) + \bar{z} \cdot (2 + i) = 5 -… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

$i^2 = -1$ ve $z$ bir karmaşık sayı olmak üzere,

z \cdot (1 - i) + \bar{z} \cdot (2 + i) = 5 - i

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, $z$ karmaşık sayısının gerçel kısmı kaçtır?

Cevap: 1

z

karmaşık sayısının gerçel kısmı

1

olarak bulunur.

Verilen denklemde

z = x + yi

\bar{z} = x - yi

yazılıp işlemler yapıldığında, eşitliğin sol tarafı

(3x + 2y) - yi

olarak sadeleşir. Bu ifade

5 - i

karmaşık sayısına eşit olduğundan, sanal kısımların eşitliğinden

-y = -1 \implies y = 1

elde edilir. Bulunan

y

değeri gerçel kısımların eşitliğinde yerine yazılarak

3x + 2(1) = 5 \implies 3x = 3 \implies x = 1

bulunur.

z

sayısının gerçel kısmı

x

olduğundan doğru yanıt

1

'dir.

Karmaşık sayı ve eşleniği cebirsel olarak tanımlanır.

z = x + yi

\bar{z} = x - yi

(

x, y \in \mathbb{R}

)

Bilinmeyen karmaşık sayıyı ve eşleniğini standart formda ifade ederek denklemde yerine koyabilmek için.

Tanımlanan ifadeler denklemde yerine yazılarak cebirsel çarpma işlemleri yapılır.

(x+yi)(1-i) + (x-yi)(2+i) = (3x+2y) - yi

Denklemin sol tarafındaki karmaşık sayının gerçel ve sanal kısımlarını belirlemek için parantezler dağıtılır ve

i^2 = -1

tanımı uygulanır.

Eşitliğin her iki yanındaki karmaşık sayıların gerçel ve sanal kısımları birbirine eşitlenir.

3x + 2y = 5

-y = -1

İki karmaşık sayının eşit olabilmesi için gerçel kısımlarının birbirine, sanal kısımlarının da birbirine eşit olması gerekir.

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemi çözülür.

y = 1

x = 1

z

karmaşık sayısının gerçel kısmı olan

x

değerine ulaşmak için.

Karmaşık sayıların eşitliği ve temel aritmetik işlemler