Examkin

Polinomlar ve İkinci Dereceden Denklemler

113 soru

Tüm türler113Çoktan seçmeli71Sayısal35Eşleştirme7
Soru 1Soru →
aa ve bb gerçel sayıları için,
a3−b3=124a^3 - b^3 = 124
a2b−ab2=20a^2b - ab^2 = 20
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, a−ba - b farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

a - b farkı 4'tür.
İki terimin farkının küpü özdeşliği olan (a−b)3=(a3−b3)−3(a2b−ab2)(a-b)^3 = (a^3 - b^3) - 3(a^2b - ab^2) eşitliğinde verilen a3−b3=124a^3 - b^3 = 124 ve a2b−ab2=20a^2b - ab^2 = 20 değerleri yerine yazıldığında (a−b)3=124−60=64(a-b)^3 = 124 - 60 = 64 bulunur. Buradan küpü 64 olan gerçel sayı a−b=4a - b = 4 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İki terimin farkının küpü özdeşliğini yazarak ortak terimler cinsinden gruplandırın.
(a−b)3=(a3−b3)−3(a2b−ab2)(a-b)^3 = (a^3 - b^3) - 3(a^2b - ab^2)
Verilen a3−b3a^3-b^3 ve a2b−ab2a^2b-ab^2 ifadelerini tek bir eşitlikte ilişkilendirmek için.
2
Bilinen sayısal değerleri özdeşlikte yerine yazın.
(a−b)3=124−3×20=64(a-b)^3 = 124 - 3 \times 20 = 64
(a−b)3(a-b)^3 ifadesinin sayısal değerini hesaplamak için.
3
Bulunan sonucun küp kökünü alarak farkın değerini elde edin.
a−b=4a - b = 4
Hangi sayının küpünün 64 olduğunu belirlemek için.

Anahtar Kavram

İki terimin farkının küpü açılımı olan (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 ifadesinin ortak çarpan parantezine alınarak (a−b)3=(a3−b3)−3ab(a−b)(a-b)^3 = (a^3-b^3) - 3ab(a-b) şeklinde gruplandırılması.
Soru 2Soru →

Bir matematik öğretmeni, tahtaya yazdığı ikinci dereceden bir denklemin kökleri olan x1x_1 ve x2x_2 hakkında öğrencilerine aşağıdaki bilgileri vermiştir:

* Köklerin toplamı, köklerin çarpımından 5 fazladır.
* Köklerin toplamının 2 katı ile köklerin çarpımının 3 katının toplamı sıfırdır.

Buna göre, öğretmenin tahtaya yazdığı ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x2−3x−2=0x^2 - 3x - 2 = 0

Cevap

Doğru denklem x2−3x−2=0x^2 - 3x - 2 = 0 şeklindedir.
Verilen sözel ifadeler denklem sistemine dönüştürülüp çözüldüğünde kökler toplamı S=3S = 3 ve kökler çarpımı P=−2P = -2 bulunur. İkinci dereceden denklem x2−Sx+P=0x^2 - Sx + P = 0 formülüyle oluşturulduğundan, doğru denklem x2−3x−2=0x^2 - 3x - 2 = 0 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Sözel ifadeleri kökler toplamı (S=x1+x2S = x_1 + x_2) ve kökler çarpımı (P=x1x2P = x_1 x_2) cinsinden denklem sistemine dönüştürmek.
S=P+5S = P + 5 ve 2S+3P=02S + 3P = 0 denklemleri elde edilir.
Kökler arasındaki ilişkileri cebirsel olarak ifade edip çözebilmek için.
2
Elde edilen birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek.
S=P+5S = P + 5 ifadesini ikinci denklemde yerine koyarsak: 2(P+5)+3P=0⇒5P+10=0⇒P=−22(P + 5) + 3P = 0 \Rightarrow 5P + 10 = 0 \Rightarrow P = -2 bulunur. Buradan S=−2+5=3S = -2 + 5 = 3 elde edilir.
Kökler toplamı ve kökler çarpımının sayısal değerlerini bulmak için.
3
Bulunan SS ve PP değerlerini kullanarak ikinci dereceden denklemi kurmak.
Kökleri x1x_1 ve x2x_2 olan denklem x2−Sx+P=0x^2 - Sx + P = 0 formülüyle kurulur. Değerler yerine yazıldığında x2−3x−2=0x^2 - 3x - 2 = 0 denklemi elde edilir.
Kök-katsayı ilişkilerinden faydalanarak orijinal denkleme ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı (x1+x2x_1+x_2) ve kökler çarpımı (x1⋅x2x_1 \cdot x_2) kullanılarak denklemin oluşturulması.
Soru 3Soru →

Baş katsayısı 11 olan üçüncü dereceden bir P(x)P(x) polinomu için,

P(1)=P(2)=3P(1) = P(2) = 3

eşitlikleri verilmektedir.

P(x)P(x) polinomunun x−3x - 3 ile bölümünden kalan 1111 olduğuna göre, P(x)P(x) polinomunun xx ile bölümünden kalan kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Polinomun x ile bölümünden kalan 5'tir.
Polinomun baş katsayısı ve verilen değerler yardımıyla P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - a) + 3 şeklinde yazılması gerekir. P(3) = 11 bilgisinden a = -1 bulunur. Buradan P(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 1) + 3 elde edilir. Polinomun x ile bölümünden kalan P(0) olduğundan, x = 0 yazılarak kalan 5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Polinomun P(1) = P(2) = 3 koşulunu ve baş katsayısının 1 olduğunu kullanarak genel formunu yazın.
P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - a) + 3
x = 1 ve x = 2 değerleri yazıldığında kalanın 3 olması için bu çarpan yapısı kurulmalıdır.
2
P(x) polinomunun x - 3 ile bölümünden kalanın 11 olmasını kullanarak a değerini bulun.
P(3) = 11 olduğundan, (3 - 1)(3 - 2)(3 - a) + 3 = 11 buradan a = -1 elde edilir.
Polinomun x - k ile bölümünden kalan P(k) değeridir.
3
Bulunan a = -1 değerini polinomda yerine yazın ve x ile bölümünden kalan olan P(0) değerini hesaplayın.
P(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 1) + 3 olup P(0) = (-1)(-2)(1) + 3 = 5 bulunur.
Polinomun x ile bölümünden kalan P(0) değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Polinomlarda kalan bulma ve polinom yazma kuralları
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 4Soru →
(x2−4x)2−5x2+20x−24=0\left(x^2 - 4x\right)^2 - 5x^2 + 20x - 24 = 0

denkleminin rasyonel sayı olan köklerinin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Rasyonel sayı olan köklerin çarpımı 3'tür.
Denklem düzenlendiğinde t=x2−4xt = x^2 - 4x dönüşümü ile t2−5t−24=0t^2 - 5t - 24 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri t=8t = 8 ve t=−3t = -3 olur. x2−4x=8x^2 - 4x = 8 denkleminin kökleri irrasyoneldir. x2−4x=−3x^2 - 4x = -3 denkleminin kökleri ise rasyonel olan 11 ve 33 sayılarıdır. Bu rasyonel köklerin çarpımı 1×3=31 \times 3 = 3 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemde ortak terim elde etmek amacıyla düzenleme yapılır.
(x2−4x)2−5(x2−4x)−24=0\left(x^2 - 4x\right)^2 - 5\left(x^2 - 4x\right) - 24 = 0
Değişken değiştirme yöntemini uygulayabilmek için x2−4xx^2 - 4x ifadesi ortak bir değişkenle temsil edilecek biçimde gruplandırılır.
2
t=x2−4xt = x^2 - 4x değişken değiştirmesi uygulanır.
t2−5t−24=0t^2 - 5t - 24 = 0
Dördüncü dereceden bir denklemi, çözümü daha kolay olan ikinci dereceden bir denkleme indirgemek için.
3
tt değişkenine bağlı ikinci dereceden denklem çarpanlarına ayrılır ve çözülür.
t=8t = 8 veya t=−3t = -3
t2−5t−24=(t−8)(t+3)=0t^2 - 5t - 24 = (t - 8)(t + 3) = 0 eşitliğini sağlayan tt köklerini elde etmek için.
4
Elde edilen tt değerleri kullanılarak orijinal xx değişkenine geri dönülür ve denklemlerin kökleri incelenir.
x2−4x=8  ⟹  x2−4x−8=0x^2 - 4x = 8 \implies x^2 - 4x - 8 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=48\Delta = 48 (tam kare değil, kökler irrasyonel). x2−4x=−3  ⟹  x2−4x+3=0  ⟹  (x−1)(x−3)=0x^2 - 4x = -3 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x-1)(x-3) = 0 denkleminin kökleri x=1x = 1 ve x=3x = 3 (rasyonel).
xx köklerinin rasyonellik durumunu test etmek ve rasyonel kök kümesini belirlemek için.
5
Sadece rasyonel olan köklerin çarpımı hesaplanır.
1×3=31 \times 3 = 3
Soruda sadece rasyonel sayı olan köklerin çarpımı talep edildiği için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden denkleme dönüştürülebilen denklemlerde değişken değiştirme yöntemi ve köklerin sayı kümeleri (rasyonel/irrasyonel) bakımından incelenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 5Soru →

P(x)=2x12n−5x6−n+x−3P(x) = 2x^{\frac{12}{n}} - 5x^{6-n} + x - 3 ifadesi bir polinom belirttiğine göre, nn yerine yazılabilecek kaç farklı tam sayı değeri vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

n yerine yazılabilecek 5 farklı tam sayı değeri vardır.
Polinom tanımına göre değişkenin üsleri doğal sayı olmalıdır. Bu durumda hem 12/n12/n hem de 6−n6-n ifadelerinin doğal sayı olması gerekir. 6−n≥0  ⟹  n≤66-n \geq 0 \implies n \leq 6 olmalıdır. 12n\frac{12}{n} ifadesinin doğal sayı olması için nn sayısı 12'nin pozitif bölenleri arasından seçilmelidir. Bu değerler {1,2,3,4,6}\{1, 2, 3, 4, 6\} olmak üzere 5 adettir.

Adım Adım Çözüm

1
Polinom tanımına göre üslerin hangi sayı kümesine ait olması gerektiğini belirleme.
Değişkenin üsleri olan 12n\frac{12}{n} ve 6−n6-n ifadeleri doğal sayı (N={0,1,2,… }\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}) olmalıdır.
Bir ifadenin polinom belirtmesi için tüm terimlerindeki değişkenlerin üslerinin doğal sayı olması şarttır.
2
Üslerin doğal sayı olma koşullarını eşitsizlik ve bölünebilme kuralları ile ifade etme.
6−n≥0  ⟹  n≤66-n \geq 0 \implies n \leq 6 ve 12n≥0\frac{12}{n} \geq 0 olmalıdır. Ayrıca 12n\frac{12}{n} ifadesinin bir tam sayı olması gerektiğinden, nn sayısı 12'nin pozitif tam sayı bölenlerinden biri olmalıdır.
Üslerin negatif olmaması ve kesirli (rasyonel) olmaması gerekir.
3
Elde edilen koşulları birleştirerek nn tam sayısının alabileceği ortak değerleri bulma.
12'nin pozitif bölenleri {1,2,3,4,6,12}\{1, 2, 3, 4, 6, 12\} kümesidir. Bu bölenlerden n≤6n \leq 6 koşulunu sağlayanlar {1,2,3,4,6}\{1, 2, 3, 4, 6\} sayılarıdır. Bu değerlerin sayısı 5'tir.
Hem bölünebilme hem de eşitsizlik koşulunu aynı anda sağlayan ortak değerleri belirlemek gerekir.

Anahtar Kavram

Polinom Tanımı ve Üslerin Doğal Sayı Olma Koşulu
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 6Soru →
P(x)P(x) bir polinomdur.
der[P(x2)]=8\text{der}[P(x^2)] = 8
olduğuna göre, der[x3⋅P(x)]\text{der}[x^3 \cdot P(x)] ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Çarpım polinomunun derecesi 7'dir.
Verilen P(x2)P(x^2) polinomunun derecesi 8 ise, P(x)P(x) polinomunun derecesi bunun yarısı olan 4'tür. x3⋅P(x)x^3 \cdot P(x) çarpım polinomunun derecesi ise x3x^3 teriminin derecesi olan 3 ile P(x)P(x)'in derecesi olan 4'ün toplamından 7 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
P(x2)P(x^2) polinomunun derecesi kullanılarak P(x)P(x) polinomunun derecesi hesaplanır.
der[P(x2)]=2⋅der[P(x)]=8  ⟹  der[P(x)]=4\text{der}[P(x^2)] = 2 \cdot \text{der}[P(x)] = 8 \implies \text{der}[P(x)] = 4 olur.
P(x2)P(x^2) ifadesinde değişkenin üssü 2 ile çarpıldığı için polinomun derecesi de 2 katına çıkar.
2
x3⋅P(x)x^3 \cdot P(x) çarpım polinomunun derecesi hesaplanır.
der[x3⋅P(x)]=der[x3]+der[P(x)]=3+4=7\text{der}[x^3 \cdot P(x)] = \text{der}[x^3] + \text{der}[P(x)] = 3 + 4 = 7 bulunur.
İki polinomun çarpımının derecesi, bu polinomların derecelerinin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Polinomlarda derece özellikleri ve çarpım polinomunun derecesi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 7Soru →
P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) sabit olmayan birer polinomdur.
der[P(x2⋅Q(x))]=20\text{der}[P(x^2 \cdot Q(x))] = 20
der[Q(x3⋅P(x))]=21\text{der}[Q(x^3 \cdot P(x))] = 21
olduğuna göre, der[P(x2)⋅Q3(x)]\text{der}[P(x^2) \cdot Q^3(x)] ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

17 değerini veren seçenek doğrudur.
Verilen iki derece denklemi a(b+2)=20a(b + 2) = 20 ve b(a+3)=21b(a + 3) = 21 olarak düzenlendiğinde, derecelerin doğal sayı olma zorunluluğundan dolayı tek ortak çözüm P(x)P(x)'in derecesinin 4, Q(x)Q(x)'in derecesinin ise 3 olmasıdır. Buradan der[P(x2)⋅Q3(x)]=2⋅4+3⋅3=17\text{der}[P(x^2) \cdot Q^3(x)] = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 3 = 17 doğru cevabına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Polinomların derecelerini adlandırarak verilen derece eşitliklerini denklemlere dönüştürün.
der[P(x)]=a\text{der}[P(x)] = a ve der[Q(x)]=b\text{der}[Q(x)] = b olsun. Bileşke ve çarpım derece kurallarına göre:
1) der[P(x2⋅Q(x))]=der[P(x)]⋅der[x2⋅Q(x)]=a(b+2)=20\text{der}[P(x^2 \cdot Q(x))] = \text{der}[P(x)] \cdot \text{der}[x^2 \cdot Q(x)] = a(b + 2) = 20
2) der[Q(x3⋅P(x))]=der[Q(x)]⋅der[x3⋅P(x)]=b(a+3)=21\text{der}[Q(x^3 \cdot P(x))] = \text{der}[Q(x)] \cdot \text{der}[x^3 \cdot P(x)] = b(a + 3) = 21
denklemleri elde edilir.
Polinomların iç içe yazıldığı durumlarda derece bulmak için der[P(U(x))]=der[P(x)]⋅der[U(x)]\text{der}[P(U(x))] = \text{der}[P(x)] \cdot \text{der}[U(x)] kuralı uygulanır.
2
Polinom derecelerinin doğal sayı olması gerektiği bilgisini kullanarak birinci denklemdeki çarpan adaylarını belirleyin.
a(b+2)=20a(b + 2) = 20 denkleminde b≥1b \ge 1 olduğundan b+2≥3b + 2 \ge 3 olmalıdır. 20 sayısının 3'ten büyük veya eşit bölenleri 4,5,10,204, 5, 10, 20'dir. Buna göre olası (a,b)(a, b) ikilileri:
- b+2=4  ⟹  b=2,a=5b+2 = 4 \implies b = 2, a = 5
- b+2=5  ⟹  b=3,a=4b+2 = 5 \implies b = 3, a = 4
- b+2=10  ⟹  b=8,a=2b+2 = 10 \implies b = 8, a = 2
- b+2=20  ⟹  b=18,a=1b+2 = 20 \implies b = 18, a = 1
olarak belirlenir.
Polinomların dereceleri doğal sayı olmak zorundadır. Bu durum aday sayısını kısıtlar.
3
Belirlenen aday ikililerin ikinci denklemi sağlama durumunu kontrol edin.
b(a+3)=21b(a + 3) = 21 denklemini test edelim:
- (a,b)=(5,2)  ⟹  2⋅(5+3)=16≠21(a, b) = (5, 2) \implies 2 \cdot (5 + 3) = 16 \neq 21 (sağlamaz)
- (a,b)=(4,3)  ⟹  3⋅(4+3)=21(a, b) = (4, 3) \implies 3 \cdot (4 + 3) = 21 (sağlar)
- (a,b)=(2,8)  ⟹  8⋅(2+3)=40≠21(a, b) = (2, 8) \implies 8 \cdot (2 + 3) = 40 \neq 21 (sağlamaz)
- (a,b)=(1,18)  ⟹  18⋅(1+3)=72≠21(a, b) = (1, 18) \implies 18 \cdot (1 + 3) = 72 \neq 21 (sağlamaz)
Buna göre tek çözüm a=4a = 4 ve b=3b = 3 değerleridir.
Sistemin tek bir doğru çözümü bulunduğundan, adayların her iki denklemi de sağlaması gerekir.
4
İstenen ifadenin derecesini hesaplayın.
der[P(x2)⋅Q3(x)]=der[P(x2)]+der[Q3(x)]=2a+3b\text{der}[P(x^2) \cdot Q^3(x)] = \text{der}[P(x^2)] + \text{der}[Q^3(x)] = 2a + 3b formülünde bulduğumuz değerleri yerine yazarsak:
2(4)+3(3)=8+9=172(4) + 3(3) = 8 + 9 = 17 elde edilir.
Polinom çarpımının derecesi derecelerin toplamına, üslü ifadelerin derecesi ise derece ile üssün çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Bileşke ve Çarpım Polinomlarında Derece İşlemleri
Soru 8Soru →

Gerçel katsayılı bir P(x)P(x) polinomunun x3−1x^3 - 1 ile bölümünden kalan −3x2+2x−1-3x^2 + 2x - 1'dir. P(x2)P(x^2) polinomunun x2−x+1x^2 - x + 1 ile bölümünden kalan K(x)K(x) olduğuna göre, K(6)K(6) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

K(6) değeri 27'dir.
P(x) polinomunun x^3 - 1 ile bölümünden kalan ifadesi kullanılarak, P(x^2) polinomunun x^2 - x + 1 ile bölümünden kalan K(x) = 5x - 3 olarak bulunur. Buradan K(6) değeri 27 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
P(x) polinomunun bölme özdeşliğini yazma
P(x) = Q(x)(x^3 - 1) - 3x^2 + 2x - 1
Verilen bölme işleminden polinomun genel ifadesini oluşturmak için.
2
x^2 - x + 1 = 0 denkleminin kök özelliklerini belirleme
w^2 = w - 1, w^3 = -1 ve w^6 = 1
Bölenden kalan bulurken karmaşık kök özelliklerini kullanmak için.
3
P(x^2) polinomunun kalan ilişkisini kurma
K(w) = P(w^2) = P(w - 1)
Bölümün kalanını w cinsinden ifade etmek için.
4
P(w - 1) değerini hesaplamak için P(x) ifadesinde yerine koyma
P(w - 1) = Q(w - 1)((w - 1)^3 - 1) - 3(w - 1)^2 + 2(w - 1) - 1
w - 1 değerini polinomda yerine yazarak sadeleştirme yapmak için.
5
(w - 1)^3 terimini sadeleştirme
(w - 1)^3 - 1 = 0
w - 1 = w^2 olduğundan (w^2)^3 - 1 = w^6 - 1 = 1 - 1 = 0 olur.
6
Geriye kalan terimleri w cinsinden sadele��tirme
K(w) = 5w - 3
(w-1)^2 = -w ve 2(w-1) = 2w - 2 dönüşümlerini kullanarak ifadeyi doğrusal hale getirmek için.
7
K(x) polinomunu bulup K(6) değerini hesaplama
K(x) = 5x - 3 ve K(6) = 27
Kalan polinomunda x yerine 6 yazarak sonucu bulmak için.

Anahtar Kavram

Polinomlarda bölme, kalan bulma, karmaşık kökler yardımıyla derece indirgeme ve polinom bileşkeleri.
Soru 9Soru →

Bir P(x)P(x) polinomunun x−3x - 3 ile bölümünden kalan 55'tir.

Buna göre, Q(x)=(x+1)⋅P(x+1)+2xQ(x) = (x + 1) \cdot P(x + 1) + 2x olarak tanımlanan Q(x)Q(x) polinomunun x−2x - 2 ile bölümünden kalan kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Q(x) polinomunun x - 2 ile bölümünden kalan 19'dur.
Polinom kalan teoremine göre P(x) polinomunun x - 3 ile bölümünden kalan P(3) = 5'tir. Benzer şekilde, Q(x) polinomunun x - 2 ile bölümünden kalan Q(2) değerine eşittir. Q(x) denkleminde x yerine 2 yazıldığında Q(2) = 3 * P(3) + 4 ifadesi elde edilir. P(3) = 5 değeri bu ifadede yerine yazıldığında kalan 19 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
P(x) polinomunun verilen bölme işleminden kalan bilgisini matematiksel olarak ifade etme
P(3) = 5
Polinom kalan teoremine göre, bir polinomun x - a ile bölümünden kalan, polinomda x yerine a yazılmasıyla elde edilen değere eşittir.
2
Q(x) polinomunun x - 2 ile bölümünden kalan ifadesini belirleme
Q(2) değeri aranmaktadır.
Q(x) polinomunun x - 2 ile bölümünden kalanı bulmak için Q(x) polinomunda x yerine 2 yazılmalıdır.
3
Q(2) değerini hesaplamak için verilen P(3) değerini kullanma
Q(2) = 19
Q(x) tanımında x yerine 2 yazıldığında Q(2) = 3 * P(3) + 4 elde edilir. P(3) = 5 değeri yerine yazıldığında ise 3 * 5 + 4 = 19 bulunur.

Anahtar Kavram

Polinom kalan teoremi yardımıyla bölme işlemi yapmadan kalan bulma.
Soru 10Soru →
y2−(a+1)y+6=0y^2 - (a+1)y + 6 = 0 denkleminin sıfırdan farklı gerçek kökleri y1y_1 ve y2y_2 dir.
1y1+1y2=2\frac{1}{y_1} + \frac{1}{y_2} = 2

olduğuna göre, aa kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Doğru cevap 11 değeridir.
İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde kökler toplamı y1+y2=a+1y_1 + y_2 = a + 1 ve kökler çarpımı y1⋅y2=6y_1 \cdot y_2 = 6 değerine eşittir. İstenen rasyonel toplam ifadesinde payda eşitlendiğinde y1+y2y1⋅y2=2\frac{y_1+y_2}{y_1 \cdot y_2} = 2 eşitliğine ulaşılır. Değerler yerine yazıldığında a+16=2\frac{a+1}{6} = 2 denkleminden a=11a = 11 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Rasyonel ifadelerde payda eşitlemesi yapılır.
1y1+1y2=y1+y2y1⋅y2=2\frac{1}{y_1} + \frac{1}{y_2} = \frac{y_1 + y_2}{y_1 \cdot y_2} = 2 elde edilir.
İfadeyi kökler toplamı ve kökler çarpımı cinsinden yazabilmek için ortak paydada birleştirmek gerekir.
2
Denklemin kökler toplamı ve kökler çarpımı katsayılar cinsinden belirlenir.
y1+y2=−−(a+1)1=a+1y_1 + y_2 = -\frac{-(a+1)}{1} = a + 1 ve y1⋅y2=61=6y_1 \cdot y_2 = \frac{6}{1} = 6 olarak bulunur.
İkinci dereceden denklemlerde kök-katsayı bağıntılarını uygulamak için.
3
Bulunan değerler payda eşitlenmiş ifadede yerine yazılarak denklem çözülür.
a+16=2⇒a+1=12⇒a=11\frac{a+1}{6} = 2 \Rightarrow a+1 = 12 \Rightarrow a = 11 bulunur.
Verilen eşitliği sağlayan parametre değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde kökler toplamı ve kökler çarpımı formüllerinin rasyonel ifadelerle ilişkilendirilmesi.
Soru 11Soru →
x2−6x−4=0x^2 - 6x - 4 = 0 denkleminin gerçek kökleri x1x_1 ve x2x_2 dir. Buna göre, ∣x1⋅x2∣+x1+x2|x_1 \cdot x_2| + x_1 + x_2 ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10 değeri doğrudur.
Verilen denklemin kökler toplamı x1+x2=6x_1 + x_2 = 6 ve kökler çarpımı x1⋅x2=−4x_1 \cdot x_2 = -4 olarak bulunur. İstenen ifadede kökler çarpımı mutlak değer içinde olduğundan ∣−4∣=4|-4| = 4 olur. Bu değer kökler toplamı ile toplandığında 4+6=104 + 6 = 10 elde edilir. Bu nedenle 10 değerinin bulunduğu seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin katsayılarını belirleme ve kökler toplamını hesaplama
a=1a = 1, b=−6b = -6, c=−4c = -4 olduğundan kökler toplamı x1+x2=−ba=−−61=6x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-6}{1} = 6 olur.
İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı −ba-\frac{b}{a} formülüyle hesaplanır.
2
Kökler çarpımını hesaplama
Kökler çarpımı x1⋅x2=ca=−41=−4x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-4}{1} = -4 olur.
İkinci dereceden denklemlerde kökler çarpımı ca\frac{c}{a} formülüyle hesaplanır.
3
İstenen ifadeyi yerine yazarak hesaplama
∣x1⋅x2∣+x1+x2=∣−4∣+6=4+6=10|x_1 \cdot x_2| + x_1 + x_2 = |-4| + 6 = 4 + 6 = 10 elde edilir.
Negatif bir sayının mutlak değeri pozitiftir, dolayısıyla ∣−4∣=4|-4| = 4 olur.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde kökler ile katsayılar arasındaki ilişkiler (kökler toplamı ve kökler çarpımı formülleri).
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 12Soru →
xx ve yy gerçel sayıları için,
x2+y2−6x+4y+13=0x^2 + y^2 - 6x + 4y + 13 = 0
olduğuna göre, x+yx + y toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1
Denklem (x−3)2+(y+2)2=0(x-3)^2 + (y+2)^2 = 0 biçiminde düzenlendiğinde, iki tam kare ifadenin toplamının sıfır olması için her iki ifadenin de sıfıra eşit olması gerekir. Buradan x=3x = 3 ve y=−2y = -2 elde edilir. Bu değerlerin toplamı ise 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemdeki terimleri xx ve yy değişkenlerine göre gruplandırırız.
(x2−6x)+(y2+4y)+13=0(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) + 13 = 0
Değişkenleri ayrı ayrı tam kare ifadelere dönüştürebilmek için gruplandırma yapılır.
2
Gruplandırılan ifadeleri tam kareye tamamlarız.
(x2−6x+9)+(y2+4y+4)=0⇒(x−3)2+(y+2)2=0(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 0 \Rightarrow (x-3)^2 + (y+2)^2 = 0
x2−6xx^2 - 6x ifadesini tam kare yapmak için 99, y2+4yy^2 + 4y ifadesini tam kare yapmak için 44 eklenmelidir. Sabit terim olan 1313 sayısı 9+49 + 4 olarak dağıtıldığında denklem dengelenir.
3
Elde edilen tam kare ifadelerin toplamının sıfır olması koşulunu kullanırız.
x−3=0⇒x=3x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 ve y+2=0⇒y=−2y + 2 = 0 \Rightarrow y = -2
Gerçel sayıların kareleri negatif olamayacağından, toplamlarının sıfır olması ancak her bir terimin ayrı ayrı sıfıra eşit olmasıyla mümkündür.
4
x+yx + y toplamını hesaplarız.
x+y=3+(−2)=1x + y = 3 + (-2) = 1
Soruda istenen toplam değerini bulmak için elde edilen xx ve yy değerleri toplanır.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özdeşliği ve İki Değişkenli İfadelerin En Küçük Değeri
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 13Soru →
P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) birer polinomdur.
der[P(x)]=4\text{der}[P(x)] = 4
der[Q(x)]=2\text{der}[Q(x)] = 2
Buna göre, der[P(x3)⋅Q(x)]\text{der}[P(x^3) \cdot Q(x)] ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Derece kuralları doğru uygulandığında elde edilen değer 14'tür.
Polinomlarda derece kurallarına göre, der[P(xk)]=k⋅der[P(x)]\text{der}[P(x^k)] = k \cdot \text{der}[P(x)] ve der[A(x)⋅B(x)]=der[A(x)]+der[B(x)]\text{der}[A(x) \cdot B(x)] = \text{der}[A(x)] + \text{der}[B(x)] kuralları geçerlidir. Soruda verilen değerlerle der[P(x3)]=3⋅4=12\text{der}[P(x^3)] = 3 \cdot 4 = 12 olur. Bu değer ile Q(x)Q(x) polinomunun derecesi toplandığında 12+2=1412 + 2 = 14 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
P(x3)P(x^3) polinomunun derecesini hesaplamak.
der[P(x3)]=3⋅der[P(x)]=3⋅4=12\text{der}[P(x^3)] = 3 \cdot \text{der}[P(x)] = 3 \cdot 4 = 12
Bir P(x)P(x) polinomunda xx değişkeni yerine xkx^k yazıldığında, elde edilen yeni polinomun derecesi orijinal polinomun derecesinin kk katı olur.
2
P(x3)⋅Q(x)P(x^3) \cdot Q(x) çarpım polinomunun derecesini hesaplamak.
der[P(x3)⋅Q(x)]=der[P(x3)]+der[Q(x)]=12+2=14\text{der}[P(x^3) \cdot Q(x)] = \text{der}[P(x^3)] + \text{der}[Q(x)] = 12 + 2 = 14
İki polinomun çarpımının derecesi, bu iki polinomun derecelerinin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Polinomlarda derece işlemlerinde çarpım ve üs kurallarının uygulanması.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 14Soru →

Bir P(x)P(x) polinomunun katsayılar toplamı 55 ve Q(x)Q(x) polinomunun sabit terimi 22 olarak veriliyor.

Buna göre,
R(x)=(x+2)⋅P(x)+Q(x−1)R(x) = (x + 2) \cdot P(x) + Q(x - 1)

polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

17
Polinomun katsayılar toplamı bulunurken x yerine 1 yazılır. R(1) = 3 * P(1) + Q(0) ifadesinde P(1) = 5 ve Q(0) = 2 değerleri yerine konulduğunda 17 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
P(x)P(x) polinomunun katsayılar toplamını ve Q(x)Q(x) polinomunun sabit terimini matematiksel olarak ifade edin.
P(1)=5P(1) = 5 ve Q(0)=2Q(0) = 2 eşitlikleri elde edilir.
Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için değişken yerine 11, sabit terimini bulmak için ise değişken yerine 00 yazılır.
2
R(x)R(x) polinomunun katsayılar toplamını bulmak için gereken ifadeyi belirleyin.
R(1)R(1) değerinin hesaplanması gerektiği belirlenir.
R(x)R(x) polinomunun katsayılar toplamı R(1)R(1) değerine eşittir.
3
R(x)R(x) denkleminde x=1x = 1 yazarak bilinen polinom terimlerini elde edin.
R(1)=(1+2)⋅P(1)+Q(1−1)=3⋅P(1)+Q(0)R(1) = (1 + 2) \cdot P(1) + Q(1 - 1) = 3 \cdot P(1) + Q(0) denklemi elde edilir.
R(1)R(1) değerini elde etmek için R(x)R(x) polinomunun tanımında xx yerine 11 yazılmalıdır.
4
P(1)=5P(1) = 5 ve Q(0)=2Q(0) = 2 değerlerini denklemde yerine koyup hesaplayın.
R(1)=3⋅5+2=17R(1) = 3 \cdot 5 + 2 = 17 bulunur.
Dört işlem kuralları uygulanarak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Polinomlarda katsayılar toplamı ve sabit terim bulma işlemlerinin dört işlem ile birleştirilmesi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 15Soru →

P(x)=(a−3)x3+axb−1−4x+5P(x) = (a-3)x^3 + ax^{b-1} - 4x + 5 ifadesi başkatsayısı 33 olan ikinci dereceden bir polinomdur. Buna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Doğru cevap 9'dur.
Polinomun ikinci dereceden olması için x3x^3 teriminin katsayısı sıfır olmalıdır, buradan a=3a = 3 bulunur. Polinomun başkatsayısı 33 ve derecesi 22 olduğundan 3xb−13x^{b-1} teriminin derecesi 22 olmalıdır. Buradan b−1=2b - 1 = 2 ise b=3b = 3 elde edilir. Bu iki değerin çarpımı 3⋅3=93 \cdot 3 = 9 olur.

Adım Adım Çözüm

1
P(x)P(x) polinomunun ikinci dereceden olması için x3x^3 teriminin katsayısı 00'a eşitlenir.
a−3=0⇒a=3a - 3 = 0 \Rightarrow a = 3
İkinci dereceden bir polinomda derecesi 22'den büyük terim bulunamayacağı için x3x^3 teriminin yok edilmesi gerekir.
2
Bulunan a=3a = 3 değeri polinom ifadesinde yerine yazılır.
P(x)=3xb−1−4x+5P(x) = 3x^{b-1} - 4x + 5
Polinomun sadeleşmiş biçimini elde ederek derece incelemesi yapmak için.
3
Polinomun derecesi 22 ve başkatsayısı 33 olduğundan, xb−1x^{b-1} teriminin üssü 22'ye eşitlenir.
b−1=2⇒b=3b - 1 = 2 \Rightarrow b = 3
Polinomun derecesinin 22 olması için en büyük üssün 22 olması gerekir.
4
aa ve bb değerleri çarpılır.
a⋅b=3⋅3=9a \cdot b = 3 \cdot 3 = 9
Bizden istenen çarpım değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Polinomlarda derece, katsayılar ve başkatsayı tanımları.
Soru 16Soru →
P(x)=3xn−3−2x10−2n+5x24nP(x) = 3x^{n-3} - 2x^{10-2n} + 5x^{\frac{24}{n}}

ifadesi bir polinom belirtmektedir.

Buna göre, nn yerine yazılabilecek farklı tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Farklı nn tam sayılarının toplamı 7'dir.
Polinom tanımı gereğince üsler doğal sayı olmalıdır. n−3≥0  ⟹  n≥3n-3 \ge 0 \implies n \ge 3 ve 10−2n≥0  ⟹  n≤510-2n \ge 0 \implies n \le 5 eşitsizliklerinden 3≤n≤53 \le n \le 5 elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılardan (3, 4, 5) sadece 3 ve 4 sayıları 24'ü kalansız böler. Dolayısıyla bu değerlerin toplamı 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Terimlerin üslerinin doğal sayı olması kuralını yazma
n−3≥0n-3 \ge 0, 10−2n≥010-2n \ge 0 ve 24n∈N\frac{24}{n} \in \mathbb{N} olmalıdır.
Polinom tanımına göre değişkenlerin üsleri doğal sayı kümesinin elemanı olmalıdır.
2
Eşitsizlikleri çözerek nn için ortak bir aralık belirleme
n≥3n \ge 3 ve n≤5  ⟹  3≤n≤5n \le 5 \implies 3 \le n \le 5 aralığı elde edilir.
Üslerin negatif olmaması için gerekli sınır değerleri saptanır.
3
Aralıktaki değerlerden bölme şartını sağlayanları bulma ve toplama
n∈{3,4,5}n \in \{3, 4, 5\} arasından 24'ü tam bölenler 3 ve 4'tür. Toplam: 3+4=73 + 4 = 7 olur.
Son terimin üssünün de bir doğal sayı olması sağlanarak ortak çözüm kümesi elde edilir.

Anahtar Kavram

Polinom tanımı ve üslerin doğal sayı olma şartı
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 17Soru →
P(x)=x12−3a+2xa−2+7P(x) = x^{12-3a} + 2x^{a-2} + 7

ifadesi bir polinom belirttiğine göre, aa parametresinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Parametrenin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 9'dur.
Polinom tanımına göre değişkenin üsleri doğal sayı olmalıdır. Bu durumda 12−3a≥012-3a \ge 0 ve a−2≥0a-2 \ge 0 eşitsizliklerinin her ikisi de sağlanmalıdır. Birinci eşitsizlikten a≤4a \le 4, ikinci eşitsizlikten ise a≥2a \ge 2 elde edilir. Bu iki koşulu sağlayan tam sayılar 22, 33 ve 44 olduğundan toplamları 99 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Polinom olma şartını belirlemek.
Değişkenin üsleri olan 12−3a12-3a ve a−2a-2 ifadeleri birer doğal sayı olmalıdır.
Bir ifadenin polinom belirtebilmesi için değişkenin tüm üslerinin doğal sayılar kümesinin (yani sıfır veya sıfırdan büyük tam sayıların) elemanı olması gerekir.
2
Üsler için eşitsizlikleri kurmak ve çözmek.
12−3a≥0⇒12≥3a⇒a≤412-3a \ge 0 \Rightarrow 12 \ge 3a \Rightarrow a \le 4 ve a−2≥0⇒a≥2a-2 \ge 0 \Rightarrow a \ge 2 elde edilir. Bu iki eşitsizlik birleştirildiğinde 2≤a≤42 \le a \le 4 bulunur.
Her iki üssün de aynı anda doğal sayı olma şartını sağlayan ortak aralığı bulmak için eşitsizlik sistemini çözüyoruz.
3
Ortak çözüm aralığındaki tam sayıları bulup toplamak.
aa parametresinin alabileceği tam sayı değerleri 2,3,42, 3, 4 olup bunların toplamı 2+3+4=92 + 3 + 4 = 9 olarak hesaplanır.
Soru bizden aa sayısının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin polinom belirtmesi için değişkenlerin üslerinin doğal sayı olması gerekir.
Soru 18Soru →
P(x)=3x2n+24n+2−x8−n+5P(x) = 3x^{\frac{2n+24}{n+2}} - x^{8-n} + 5

ifadesi bir polinom belirttiğine göre, nn doğal sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Koşulları sağlayan farklı n doğal sayılarının toplamı 13'tür.
Polinom tanımına göre değişkenlerin üsleri doğal sayı olmalıdır. Buradan 8−n≥0  ⟹  n≤88-n \ge 0 \implies n \le 8 ve 2n+24n+2=2+20n+2\frac{2n+24}{n+2} = 2 + \frac{20}{n+2} ifadesinin doğal sayı olması için n+2n+2 değeri 2020'nin 22 veya daha büyük böleni olmalıdır. Koşulları sağlayan nn doğal sayıları 0,2,3,80, 2, 3, 8 olup, toplamları 1313 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Polinom tanımına göre terimlerin derecelerinin birer doğal sayı olması gerektiği koşulu yazılır.
2n+24n+2∈N\frac{2n+24}{n+2} \in \mathbb{N} ve 8−n∈N8-n \in \mathbb{N} olmalıdır.
Polinomlarda değişkenlerin üsleri negatif olmayan tam sayılar (yani doğal sayılar) olmalıdır.
2
8−n8-n ifadesinin doğal sayı olması için gerekli eşitsizlik çözülür.
8−n≥0  ⟹  n≤88-n \ge 0 \implies n \le 8 elde edilir.
Bir sayının doğal sayı olması için sıfırdan büyük veya sıf��ra eşit olması gerekir.
3
2n+24n+2\frac{2n+24}{n+2} rasyonel ifadesi tam sayılı kesir biçiminde yazılır.
2n+24n+2=2(n+2)+20n+2=2+20n+2\frac{2n+24}{n+2} = \frac{2(n+2) + 20}{n+2} = 2 + \frac{20}{n+2} bulunur.
Pay paydaya bölünerek değişkenin değerlerini bulmayı kolaylaştıracak bir biçime dönüştürülür.
4
2+20n+22 + \frac{20}{n+2} ifadesinin doğal sayı olması için n+2n+2 bölenleri belirlenir.
n+2n+2 ifadesi 2020'nin pozitif bir böleni olmalıdır. nn doğal sayı (n≥0n \ge 0) olduğundan n+2≥2n+2 \ge 2 olmalıdır. Buradan n+2∈{2,4,5,10,20}n+2 \in \{2, 4, 5, 10, 20\} elde edilir.
2020 sayısının pozitif bölenleri belirlenir ve n≥0n \ge 0 sınırlandırılması uygulanır.
5
Bulunan n+2n+2 değerlerinden nn çekilir ve n≤8n \le 8 koşulu kontrol edilir.
n∈{0,2,3,8}n \in \{0, 2, 3, 8\} değerleri bulunur (n+2=20  ⟹  n=18n+2=20 \implies n=18 değeri n≤8n \le 8 koşulunu sağlamadığı için elenir).
Her iki derecenin de aynı anda doğal sayı olmasını sağlayan ortak nn değerleri kümesi oluşturulur.
6
Elde edilen nn doğal sayılarının toplamı hesaplanır.
0+2+3+8=130 + 2 + 3 + 8 = 13 bulunur.
Soruda istenen alabileceği farklı değerlerin toplamı işlemidir.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin polinom belirtmesi için değişkenlerinin derecelerinin doğal sayı olması gerekir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 19Soru →
P(x)=xn+15n+1−5x6−n+2x2−3P(x) = x^{\frac{n+15}{n+1}} - 5x^{6-n} + 2x^2 - 3

ifadesi bir polinom belirttiğine göre, nn tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -8

Cevap

n tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı -8'dir.
Doğru yanıt olan -8 değeri, polinom tanımına göre üslerin doğal sayı olması koşulunu sağlayan tüm n tam sayılarının (0, 1, 6 ve -15) toplamıdır. Bu değerler hem 6 - n >= 0 eşitsizliğini sağlar hem de (n + 15) / (n + 1) ifadesini negatif olmayan bir tam sayıya dönüştürür.

Adım Adım Çözüm

1
Polinom tanımından yararlanarak değişkenlerin üsleri için geçerli koşulları belirleme.
İfadenin bir polinom belirtmesi için x'in tüm üsleri doğal sayı olmalıdır. Buradan, (n + 15) / (n + 1) >= 0 ve 6 - n >= 0 koşulları elde edilir. İkinci eşitsizlikten n <= 6 sonucuna ulaşılır.
Polinom tanımı gereği değişkenlerin üsleri negatif ya da rasyonel olamaz, mutlaka doğal sayı olmalıdır.
2
Rasyonel üs ifadesini tam ve kesirli kısımlarına ayırma.
(n + 15) / (n + 1) = (n + 1 + 14) / (n + 1) = 1 + 14 / (n + 1) şeklinde yazılır.
Rasyonel ifadeyi tam sayılı kesre dönüştürmek, n + 1 ifadesinin alabileceği tam sayı bölenlerini daha kolay belirlemeyi sağlar.
3
n + 1 ifadesinin bölenlerini ve buna bağlı n değerlerini inceleme.
1 + 14 / (n + 1) ifadesinin bir tam sayı olması için n + 1 sayısı 14'ün tam sayı bölenleri olan 1, 2, 7, 14, -1, -2, -7, -14 değerlerini alabilir. Buradan n değerleri sırasıyla 0, 1, 6, 13, -2, -3, -8, -15 olarak bulunur.
n bir tam sayı olduğu için n + 1 de 14'ü tam bölen bir tam sayı olmak zorundadır.
4
Bulunan n değerlerinin her iki üssü de doğal sayı yapma durumunu kontrol etme.
- n = 0 için: üsler 15 ve 6 (geçerli)
- n = 1 için: üsler 8 ve 5 (geçerli)
- n = 6 için: üsler 3 ve 0 (geçerli)
- n = 13 için: 6 - n = -7 < 0 (geçersiz)
- n = -2 için: 1 + 14/(-1) = -13 < 0 (geçersiz)
- n = -3 için: 1 + 14/(-2) = -6 < 0 (geçersiz)
- n = -8 için: 1 + 14/(-7) = -1 < 0 (geçersiz)
- n = -15 için: üsler 0 ve 21 (geçerli)
n <= 6 sınır koşulunun ve rasyonel ifadeden elde edilen üssün negatif olmama koşulunun her bir n değeri için ayrı ayrı test edilmesi gerekir.
5
Geçerli n değerlerini toplama.
Geçerli n değerleri: 0, 1, 6 ve -15 olup toplamları: 0 + 1 + 6 + (-15) = -8 bulunur.
Soruda istenen, n'nin alabileceği tüm farklı tam sayı değerlerinin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Polinomlarda değişkenlerin üsleri doğal sayı olmak zorundadır. Rasyonel üs içeren ifadelerde bölme işlemi yapılıp sınırlar doğru belirlenmelidir.
Soru 20Soru →
Her xx gerçel sayısı için,
P(x)=(a−3)x2+(b+1)x−4P(x) = (a - 3)x^2 + (b + 1)x - 4
Q(x)=5x2−3x+c−2Q(x) = 5x^2 - 3x + c - 2
polinomları verilmiştir.

P(x)=Q(x)P(x) = Q(x) olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İki polinomun eşitliği ilkesi uygulanarak a=8a=8, b=−4b=-4 ve c=−2c=-2 bulunur. Bu değerlerin toplamı olan 2 doğru cevaptır.
Polinomların eşitliği kuralı gereğince aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşitlenir. Buradan elde edilen a=8a=8, b=−4b=-4 ve c=−2c=-2 değerlerinin toplamı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
x2x^2 terimlerinin katsayıları eşitlenir.
a−3=5⇒a=8a - 3 = 5 \Rightarrow a = 8
Eşit polinomlarda aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmak zorundadır.
2
xx terimlerinin katsayıları eşitlenir.
b+1=−3⇒b=−4b + 1 = -3 \Rightarrow b = -4
Q(x)Q(x) polinomundaki xx teriminin önündeki negatif işaret dikkate alınarak eşitlik kurulmalıdır.
3
Sabit terimler eşitlenir.
c−2=−4⇒c=−2c - 2 = -4 \Rightarrow c = -2
Polinomlardaki sabit terimler birbirine eşitlenerek denklem çözülür.
4
Bulunan aa, bb ve cc değerleri toplanır.
a+b+c=8+(−4)+(−2)=2a + b + c = 8 + (-4) + (-2) = 2
Soruda istenen a+b+ca + b + c toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Polinomların Eşitliği
Tahmini Süre:1m 0s
Sayfa 1 / 6Sonraki
Polinomlar ve İkinci Dereceden Denklemler Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) | Examkin