Examkin

Question

Difficulty: MediumÖzel Tanımlı İşlemler

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı [n][n] sembolü, nn sayısının farklı asal bölenlerinin toplamı olarak tanımlanıyor.

Örneğin, [12]=2+3=5[12] = 2 + 3 = 5 ve [25]=5[25] = 5 tir.

Buna göre,
[x⋅10]=[x]+7[x \cdot 10] = [x] + 7
eşitliğini sağlayan iki basamaklı en küçük xx pozitif tam sayısı kaçtır?
  1. A
    10
  2. 11Answer
  3. C
    12
  4. D
    13
  5. E
    15

Answer

Eşitliği sağlayan iki basamaklı en küçük xx pozitif tam sayısı 11'dir.
Verilen [n][n] işlemi bir sayının farklı asal bölenlerinin toplamını bulmaktadır. [x⋅10]=[x]+7[x \cdot 10] = [x] + 7 eşitliğinde, 10'un asal bölenleri olan 2 ve 5'in toplamı 7'dir. Bu toplamın [x][x] değerine aynen eklenebilmesi için, xx sayısının asal bölenleri arasında 2 ve 5 bulunmamalıdır. İki basamaklı en küçük pozitif tam sayılardan başlayarak incelersek; 10 sayısı 2 ve 5'e bölünür, ancak 11 sayısı asal olup 2 ve 5'e bölünmez. Dolayısıyla en küçük değer 11'dir.

Step-by-Step Solution

1
[x⋅10][x \cdot 10] ifadesini çözümlemek için 10 sayısını asal çarpanlarına ayırın.
10=2⋅510 = 2 \cdot 5 olduğundan, 1010 sayısının asal bölenleri 22 ve 55'tir.
[n][n] işlemi farklı asal bölenlerin toplamını aldığından, çarpımın asal bölenlerini belirlememiz gerekir.
2
[x⋅10]=[x]+7[x \cdot 10] = [x] + 7 eşitliğini sağlayan koşulu analiz edin.
[x⋅2⋅5]=[x]+7[x \cdot 2 \cdot 5] = [x] + 7 olur. 2+5=72 + 5 = 7 olduğundan, bu eşitliğin sağlanabilmesi için 22 ve 55 asal sayılarının xx sayısının asal bölenleri arasında yer almaması gerekir.
Eğer 22 veya 55 sayısı xx'in bir asal böleni olsaydı, [x⋅10][x \cdot 10] hesaplanırken bu sayılar tekrar toplanmayacağı için toplamdaki artış 7'den az olurdu.
3
xx sayısının sahip olması gereken özellikleri belirleyin.
xx sayısı 2 ve 5 ile bölünemeyen (yani 10 ile aralarında asal olan) bir sayı olmalıdır.
xx'in asal bölenleri arasında 2 ve 5 bulunmamalıdır.
4
Bu koşulu sağlayan iki basamaklı en küçük pozitif tam sayıyı bulun.
İki basamaklı sayılar 10'dan başlar. 10 sayısı 2 ve 5'e bölünür. Bir sonraki sayı olan 11 sayısı ise ne 2'ye ne de 5'e bölünür. Dolayısıyla en küçük sayı 11'dir.
Koşulu sağlayan en küçük iki basamaklı pozitif tam sayıyı elde etmek için.

Key Concept

Bir sayının asal bölenleri toplamı fonksiyonu altında çarpım işleminin incelenmesi ve aralarında asallık ilişkisi.

Hints

1
10 sayısının asal bölenlerini belirleyip toplamlarını kontrol edin.
2
[x⋅10]=[x]+7[x \cdot 10] = [x] + 7 eşitliğinde 7 değerinin, 10'un asal bölenleri olan 2 ve 5'in toplamı olduğunu fark edin.
3
Eşitliğin sağlanması için xx sayısının asal çarpanları arasında 2 ve 5 bulunmamalıdır. İki basamaklı sayılardan bu kurala uyan en küçük olanını seçin.

Practice More

Benzer şekilde [x⋅6]=[x]+5[x \cdot 6] = [x] + 5 eşitliğini sağlayan en küçük üç basamaklı sayıyı bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Seçenekleri doğrudan deneyerek de sonuca ulaşabilirsiniz. En küçük iki basamaklı seçenek olan 10'dan başlayarak sırayla deneriz: x=10x=10 için [100]=7[100]=7 ve [10]+7=14[10]+7=14 (sağlamaz). x=11x=11 için [110]=18[110]=18 ve [11]+7=18[11]+7=18 (sağlar). En küçük sayı arandığı için 11 doğru cevaptır.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Özel Tanımlı İşlemler

More questions from this topic