Examkin

Question

Difficulty: HardPrizmalar ve Genel Özellikleri

Taban ayrıtları 15 cm15\text{ cm}, 20 cm20\text{ cm} ve 25 cm25\text{ cm} olan dik üçgen dik prizma biçimindeki bir tahta blok, tabanının dik açılı köşesinden hipotenüse indirilen yükseklik boyunca tabana dik bir düzlemle kesilerek iki küçük dik prizmaya ayrılıyor. Elde edilen büyük parçanın tüm yüzey alanı, küçük parçanın tüm yüzey alanından 204 cm2204\text{ cm}^2 fazla olduğuna göre, başlangıçtaki tahta bloğun hacmi ka�� cm3\text{cm}^3 tür?

  1. A
    500
  2. B
    750
  3. 1500Answer
  4. D
    2550
  5. E
    900

Answer

Başlangıçtaki tahta bloğun hacmi 1500 cm31500\text{ cm}^3 tür.
Doğru cevap olan 15001500 değerine ulaşmak için öncelikle taban dik üçgeninin alanı (150 cm2150\text{ cm}^2) ve dik köşeden indirilen yüksekliği (12 cm12\text{ cm}) hesaplanır. Bu yükseklik, tabanı sırasıyla 9−12−159-12-15 ve 12−16−2012-16-20 olan iki dik üçgene böler. Elde edilen iki küçük prizmanın tüm yüzey alanları yazılıp farkları 204 cm2204\text{ cm}^2 ye eşitlendiğinde prizmanın yüksekliği 10 cm10\text{ cm} olarak bulunur. Başlangıçtaki prizmanın hacmi ise taban alanı ile yüksekliğin çarpımı (150×10=1500 cm3150 \times 10 = 1500\text{ cm}^3) olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Taban üçgeninin alanını ve hipotenüse indirilen yüksekliğini bulma
Taban alanı Alan(ABC)=150 cm2\text{Alan}(ABC) = 150\text{ cm}^2 ve yükseklik BH=12 cmBH = 12\text{ cm} olarak bulunur.
Dik üçgenin dik kenarları 15 cm15\text{ cm} ve 20 cm20\text{ cm} olduğuna göre, hipotenüs 25 cm25\text{ cm}'dir (3−4−53-4-5 üçgeninin 55 katı). Alan formülünden: Alan(ABC)=15×202=150 cm2\text{Alan}(ABC) = \frac{15 \times 20}{2} = 150\text{ cm}^2 olur. Aynı alan hipotenüs ve bu kenara ait yükseklik yardımıyla yazılırsa: 25×BH2=150  ⟹  BH=12 cm\frac{25 \times BH}{2} = 150 \implies BH = 12\text{ cm} elde edilir.
2
Hipotenüs üzerindeki parçaların uzunluklarını Öklid bağıntılarıyla belirleme
Dikme ayağı HH olmak üzere, AH=9 cmAH = 9\text{ cm} ve HC=16 cmHC = 16\text{ cm} bulunur.
Öklid'in dik kenar bağıntıları kullanılarak dik kenarların hipotenüs üzerindeki izdüşümleri hesaplanır: AB2=AH×AC  ⟹  152=AH×25  ⟹  AH=9 cmAB^2 = AH \times AC \implies 15^2 = AH \times 25 \implies AH = 9\text{ cm} olur. Buradan HC=AC−AH=25−9=16 cmHC = AC - AH = 25 - 9 = 16\text{ cm} bulunur.
3
Oluşan iki küçük prizmanın tüm yüzey alanlarını yükseklik hh cinsinden yazma
Küçük parçanın yüzey alanı A1=108+36hA_1 = 108 + 36h, büyük parçanın yüzey alanı A2=192+48hA_2 = 192 + 48h olur.
Küçük parçanın tabanı △ABH\triangle ABH (kenarları 9,12,159, 12, 15) olup, taban alanı T1=9×122=54 cm2T_1 = \frac{9 \times 12}{2} = 54\text{ cm}^2 ve taban çevresi P1=36 cmP_1 = 36\text{ cm}'dir. Yüzey alanı: A1=2×54+36h=108+36hA_1 = 2 \times 54 + 36h = 108 + 36h. Büyük parçanın tabanı △CBH\triangle CBH (kenarları 12,16,2012, 16, 20) olup, taban alanı T2=16×122=96 cm2T_2 = \frac{16 \times 12}{2} = 96\text{ cm}^2 ve taban çevresi P2=48 cmP_2 = 48\text{ cm}'dir. Yüzey alanı: A2=2×96+48h=192+48hA_2 = 2 \times 96 + 48h = 192 + 48h olur.
4
Yüzey alanları farkını kullanarak prizma yüksekliğini ve hacmini hesaplama
Prizma yüksekliği h=10 cmh = 10\text{ cm} ve başlangıçtaki hacim V=1500 cm3V = 1500\text{ cm}^3 bulunur.
İki parçanın tüm yüzey alanları farkı 204 cm2204\text{ cm}^2 olarak verilmiştir: A2−A1=(192+48h)−(108+36h)=204  ⟹  84+12h=204  ⟹  12h=120  ⟹  h=10 cmA_2 - A_1 = (192 + 48h) - (108 + 36h) = 204 \implies 84 + 12h = 204 \implies 12h = 120 \implies h = 10\text{ cm} bulunur. Başlangıçtaki hacim ise taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır: V=150×10=1500 cm3V = 150 \times 10 = 1500\text{ cm}^3.

Key Concept

Dik prizmalarda yüzey alanı ve hacim bağıntıları ile taban geometrisindeki Öklid bağıntılarının uygulanması.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Prizmalar ve Genel Özellikleri

More questions from this topic