Examkin

Question

Difficulty: HardPrizmalar ve Genel Özellikleri

Bir dik prizmanın köşe sayısı ile ayrıt sayısının toplamı 15'tir. Bu prizmanın tabanı, dik kenarlarından biri 9 cm9\text{ cm} ve hipotenüsü 15 cm15\text{ cm} olan bir dik üçgendir. Prizmanın yanal alanı, taban alanının 3 katına eşit olduğuna göre, prizmanın hacmi kaç cm3\text{cm}^3 tür?

Answer: 243 cm^3

Answer

Prizmanın hacmi 243 cm3243\text{ cm}^3 olarak bulunur.
Prizmanın köşe ve ayrıt sayılarından tabanının üçgen olduğu bulunur. Pisagor bağıntısı ile üçgenin diğer kenarı 12 cm, alanı 54 cm² ve çevresi 36 cm olarak hesaplanır. Yanal alanın taban alanının 3 katı olmasından yükseklik 4.5 cm elde edilir. Hacim ise taban alanı ve yüksekliğin çarpımı ile 243 cm³ bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Köşe sayısı ve ayrıt sayısı toplamını kullanarak prizmanın tabanının kenar sayısını belirleme
n = 3 (Üçgen dik prizma)
Bir n-gen dik prizmanın 2n köşesi ve 3n ayrıtı vardır. 2n + 3n = 15 denkleminden n = 3 bulunur.
2
Tabandaki dik üçgenin bilinmeyen dik kenarını hesaplama
12 cm
Dik kenarlarından biri 9 cm ve hipotenüsü 15 cm olan dik üçgende, Pisagor bağıntısı (92+b2=1529^2 + b^2 = 15^2) kullanılarak diğer dik kenar 12 cm olarak elde edilir.
3
Taban alanı ve taban çevresini hesaplama
Taban Alanı = 54 cm², Taban Çevresi = 36 cm
Dik üçgenin alanı dik kenarların çarpımının yarısıdır: (9 * 12) / 2 = 54 cm². Çevresi ise kenarlarının toplamıdır: 9 + 12 + 15 = 36 cm.
4
Prizmanın yüksekliğini bulma
h = 4.5 cm
Yanal alan formülü Çevre * h'dir. Yanal alan taban alanının 3 katına eşit olduğundan, 36 * h = 3 * 54 = 162 eşitliğinden h = 4.5 cm bulunur.
5
Prizmanın hacmini hesaplama
243 cm³
Bir prizmanın hacmi taban alanı ile yüksekliğinin çarpımı ile bulunur: V = 54 * 4.5 = 243 cm³.

Key Concept

Prizmalarda köşe, ayrıt ve yüz sayısı ilişkileri ile taban alanı, yanal alan ve hacim hesaplama formülleri.
Rate this question

Topics

Prizmalar ve Genel Özellikleri

More questions from this topic