Examkin

Question

Difficulty: MediumSayı ve Şekil Örüntüleri

Bir dairesel oyun tahtası üzerinde, 11'den 88'e kadar saat yönünde ardışık olarak numaralandırılmış 88 adet hücre bulunmaktadır. Başlangıçta 11 numaralı hücrede duran bir taş, belirli bir kurala göre hareket ettirilecektir.

Bu hareket kuralına göre taş;
- 1.1. adımda saat yönünde 11 hücre,
- 2.2. adımda saat yönünde 22 hücre,
- 3.3. adımda saat yönünde 33 hücre ilerletilmektedir.

Benzer şekilde, taş her n.n. adımda saat yönünde nn hücre ilerletilerek hareketine devam etmektedir.

Buna göre, başlangıçtan itibaren 100.100. adımın sonunda bu taş kaç numaralı hücrede bulunur?

  1. 3Answer
  2. B
    2
  3. C
    5
  4. D
    7
  5. E
    4

Answer

3
Taşın 100100 adımda yapacağı toplam ilerleme 100×1012=5050\frac{100 \times 101}{2} = 5050 hücredir. Dairesel oyun tahtası 8 hücreden oluştuğu için bu ilerlemenin 8'e göre modu alınır: 5050≡2(mod8)5050 \equiv 2 \pmod{8}. Başlangıçta 11 numaralı hücrede bulunan taş, saat yönünde 2 hücre daha ilerleyerek 33 numaralı hücreye ulaşır. Bu nedenle doğru cevap 3 hücresidir.

Step-by-Step Solution

1
Taşın her adımdaki ilerleme miktarını belirlemek ve toplam ilerlemeyi veren matematiksel formülü yazmak.
Taşın nn. adımdaki ilerleme miktarı nn birimdir. Dolayısıyla nn. adımın sonundaki toplam ilerleme miktarı ilk nn pozitif tam sayının toplamı olan Sn=n(n+1)2S_n = \frac{n(n+1)}{2} formülü ile hesaplanır.
Örüntünün genel kuralını belirleyerek adımları tek tek saymak yerine doğrudan formül üzerinden sonuca ulaşmak.
2
100100. adım sonundaki toplam ilerleme miktarını formülde n=100n = 100 yazarak hesaplamak.
S100=100×1012=50×101=5050S_{100} = \frac{100 \times 101}{2} = 50 \times 101 = 5050 hücredir.
100100 adımda taşın toplamda kaç hücre ilerlediğini bulmak.
3
Dairesel oyun tahtası 8 hücreden oluştuğu için toplam ilerleme miktarının 8 ile bölümünden kalanı bulmak ve başlangıç hücresine eklemek.
50505050 sayısının 8 ile bölümünden kalan: 5050=8×631+25050 = 8 \times 631 + 2 olduğundan kalan 22'dir. Taş başlangıçta 11 numaralı hücrede bulunduğundan, son konumu 1+2=31 + 2 = 3 numaralı hücre olur.
Her 8 adımda bir taş aynı konuma geri döneceğinden (mod 8), toplam ilerlemenin 8'e göre kalanını bulup başlangıç konumuna ekleyerek son hücreyi tespit etmek.

Key Concept

Sayı ve Şekil Örüntüleri

Hints

1
Toplam ilerleme miktarını bulmak için ardışık sayıların toplamı formülü olan n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} ifadesini kullanabilirsiniz.

Practice More

Benzer bir mantıkla, taşın her tek numaralı adımda saat yönünde, her çift numaralı adımda ise saat yönünün tersine hareket ettiği alternatif bir senaryoyu çözebilirsiniz.

Alternative Method

İlk birkaç adımın mod 8'deki konumlarını yazarak örüntünün periyodunu bulabilir ve 100. adımın bu periyottaki yerine bakarak da çözüme ulaşabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Sayı ve Şekil Örüntüleri

More questions from this topic