Examkin

Question

Difficulty: MediumSayı ve Şekil Örüntüleri

Birim kareler kullanılarak düzlemde bir ��ekil örüntüsü oluşturuluyor.
- 1. adımda sadece 11 adet birim kare bulunmaktadır.
- Sonraki her adımda, bir önceki adımda elde edilen şeklin sınırındaki karelerle en az bir ortak kenarı olan ve henüz şekle dahil edilmemiş tüm birim kareler örüntüye eklenmektedir.

Buna göre, bu örüntünün 8. adımında toplam kaç adet birim kare bulunur?

  1. A
    29
  2. B
    85
  3. 113Answer
  4. D
    127
  5. E
    145

Answer

Örüntünün 8. adımında toplam 113 adet birim kare bulunur.
Örüntünün adımlarındaki toplam kare sayıları sırasıyla 1, 5, 13, 25... şeklindedir. Adımlar arası farklar incelendiğinde 4, 8, 12, 16... şeklinde 4'ün katları olarak arttığı görülür. nn. adımdaki toplam kare sayısını veren genel formül 2n2−2n+12n^2 - 2n + 1'dir. n=8n = 8 için bu formül 2(82)−2(8)+1=1132(8^2) - 2(8) + 1 = 113 sonucunu verir. Bu nedenle 113 değeri doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
İlk adımlardaki kare sayılarını listeleyerek adımlar arasındaki farkı belirleyin.
1. adımda 1 kare, 2. adımda 5 kare (artış +4), 3. adımda 13 kare (artış +8) bulunmaktadır. Bir sonraki adımda (4. adım) artış miktarı 12 olacak ve 25 kareye ulaşılacaktır.
Örüntünün büyüme kuralını ve artış miktarındaki düzeni görmek için.
2
Artış miktarlarının oluşturduğu dizinin kuralını çıkarın ve genel toplam formülünü oluşturun.
nn. adımdaki toplam kare sayısı 1+4+8+12+...+4(n−1)1 + 4 + 8 + 12 + ... + 4(n-1) şeklinde yazılabilir. Bu toplam 1+4⋅(n−1)n2=2n2−2n+11 + 4 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 2n^2 - 2n + 1 formülüne eşittir.
Herhangi bir nn. adım için toplam kare sayısını doğrudan hesaplayabilmek için.
3
Formülde n=8n = 8 yazarak 8. adımdaki kare sayısını hesaplayın.
2(82)−2(8)+1=2(64)−16+1=128−16+1=1132(8^2) - 2(8) + 1 = 2(64) - 16 + 1 = 128 - 16 + 1 = 113 bulunur.
Soruda istenen 8. adımdaki toplam kare sayısını bulmak için.

Key Concept

Şekil örüntülerinde adım sayısı ile eleman sayısı arasındaki ikinci dereceden (karesel) ilişkiyi belirleme ve formüle etme.

Hints

1
İlk birkaç adımdaki toplam kare sayılarını yazarak adımlar arasındaki farkları inceleyin.
2
1, 5, 13, 25 sayıları arasındaki artış miktarlarının 4, 8, 12 şeklinde 4'ün katları olduğunu fark edin.
3
nn. adım için toplam kare sayısı 1+4(1+2+3+...+(n−1))1 + 4(1 + 2 + 3 + ... + (n-1)) formülü ile hesaplanabilir. Burada n=8n=8 yazarak sonuca ulaşabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Sayı ve Şekil Örüntüleri

More questions from this topic