Sayı ve Şekil Örüntüleri

Birim kareler kullanılarak düzlemde bir ��ekil örüntüsü oluşturuluyor.
- 1. adımda sadece $1$ adet birim kare bulunmaktadır.
- Sonraki her adımda, bir önceki adımda elde edilen şeklin sınırındaki karelerle en az bir ortak kenarı olan ve henüz şekle dahil edilmemiş tüm birim kareler örüntüye eklenmektedir.

Buna göre, bu örüntünün 8. adımında toplam kaç adet birim kare bulunur?

Kartezyen koordinat düzleminde, başlangıç noktası $(0,0)$ olan ve pozitif tam sayıların sarmal (spiral) bir biçimde yerleştirilmesiyle elde edilen bir sayı örüntüsü oluşturuluyor. Bu örüntüde sayılar sırasıyla sağa, yukarı, sola ve aşağı doğru ilerleyen bir hat üzerinde boş olan ilk tam sayı koordinatına yerleştirilmektedir.

Örüntünün ilk birkaç adımı şu şekildedir:
- $1 \rightarrow (0,0)$
- $2 \rightarrow (1,0)$
- $3 \rightarrow (1,1)$
- $4 \rightarrow (0,1)$
- $5 \rightarrow (-1,1)$
- $6 \rightarrow (-1,0)$
- $7 \rightarrow (-1,-1)$
- $8 \rightarrow (0,-1)$
- $9 \rightarrow (1,-1)$
- $10 \rightarrow (2,-1)$

Buna göre, $2026$ sayısı koordinat düzleminde hangi noktaya yerleştirilir?

Pozitif tam sayılar, aşağıdaki kurallara göre satır sayıları yukarıdan aşağıya doğru artacak biçimde üçgensel bir piramit oluşturacak şekilde yerleştiriliyor:

* $1.$ satırda $1$ adet, $2.$ satırda $2$ adet, $3.$ satırda $3$ adet sayı olacak şekilde her $n.$ satırda $n$ adet sayı bulunmaktadır.
* Sayılar $1$'den başlayarak ardışık olarak sırayla yerleştirilmektedir.
* Tek numaralı satırlardaki sayılar soldan sağa doğru artan sırada yazılmaktadır.
* Çift numaralı satırlardaki sayılar sağdan sola doğru artan sırada (yani soldan sağa doğru azalan sırada) yazılmaktadır.

Bu piramidin ilk $5$ satırı aşağıda gösterilmiştir:

1
3 2
4 5 6
10 9 8 7
11 12 13 14 15

Buna göre, $200$ sayısı bu sayı piramidinde kaçıncı satırda ve soldan kaçıncı sıradadır?

Bir sokağın sol tarafındaki evler sokağın girişinden itibaren sırasıyla ardışık tek sayılarla ($1, 3, 5, \dots$), sağ tarafındaki evler ise sırasıyla ardışık çift sayılarla ($2, 4, 6, \dots$) numaralandırılmı��tır.

Buna göre, bu sokağın sol tarafındaki $15.$ evin kapı numarası kaçtır?

Bir sayı örüntüsünde her bir terim, kendisinden önceki terimin $2$ katının $3$ eksiği alınarak elde edilmektedir. Bu örüntünün ilk terimi $5$ olduğuna göre, örüntünün $4.$ terimi kaçtır?

Bir dairesel oyun tahtası üzerinde, $1$'den $8$'e kadar saat yönünde ardışık olarak numaralandırılmış $8$ adet hücre bulunmaktadır. Başlangıçta $1$ numaralı hücrede duran bir taş, belirli bir kurala göre hareket ettirilecektir.

Bu hareket kuralına göre taş;
- $1.$ adımda saat yönünde $1$ hücre,
- $2.$ adımda saat yönünde $2$ hücre,
- $3.$ adımda saat yönünde $3$ hücre ilerletilmektedir.

Benzer şekilde, taş her $n.$ adımda saat yönünde $n$ hücre ilerletilerek hareketine devam etmektedir.

Buna göre, başlangıçtan itibaren $100.$ adımın sonunda bu taş kaç numaralı hücrede bulunur?

Aşağıdaki tabloda sayılar belirli bir mantıksal kurala göre yerleştirilmiştir.

Buna göre, tablodaki soru işareti ($?$) yerine gelmesi gereken sayı kaçtır?

Bir kare örüntüsünün her adımında, özdeş kareler yan yana dizilerek yeni bir dikdörtgen elde edilmektedir.

- $1$. adımda: $1$ kare (ortak kenar sayısı $0$)
- $2$. adımda: yan yana $2$ kare (ortak kenar sayısı $1$)
- $3$. adımda: yan yana $3$ kare (ortak kenar sayısı $2$)

Buna göre, bu örüntünün $12$. adımındaki toplam kare sayısı ile ortak kenar sayısının toplamı kaçtır?

Bir sayı örüntüsünün terimleri $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$ şeklinde sıralanmaktadır. Bu örüntünün ilk iki terimi

$a_1 = 1$

$a_2 = 3$

olarak verilmiştir. Sonraki terimler ise her $n \geq 3$ için,

* $n$ tek sayı ise $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$
* $n$ çift sayı ise $a_n = a_{n-1} - a_{n-2}$

kurallarına göre belirlenmektedir.

Buna göre, bu örüntünün 22. terimi ($a_{22}$) kaçtır?

Bir sayı ve şekil örüntüsü aşağıdaki kurallara göre oluşturulmaktadır:
- $1$. adımda: Merkezde bulunan tek bir kare hücreye $1$ sayısı yazılır.
- Her bir sonraki adımda ($n \geq 2$):
- Mevcut şeklin dış sınırlarına komşu olacak şekilde yeni kare hücreler eklenerek şekil genişletilir (böylece her adımda merkezden dışarıya doğru bakışımlı bir baklava şekli oluşur).
- Yeni eklenen tüm hücrelerin her birine $1$ sayısı yazılır.
- Önceki adımlardan kalan tüm hücrelerin içindeki sayılar $2$ ile çarpılır.

Buna göre, bu örüntünün $7$. adımında şekli oluşturan tüm hücrelerdeki sayıların toplamı kaç olur?

Bir kenarı $n$ birim olan eşkenar üçgenlerin köşelerine ve kenarları üzerine, 1 birim aralıklarla noktalar yerleştirilerek bir şekil örüntüsü oluşturuluyor. Bu örüntünün ilk üç adımı aşağıda modellenmiştir:

- 1. adımda: Kenar uzunluğu 1 birim olan üçgen için 3 nokta
- 2. adımda: Kenar uzunluğu 2 birim olan üçgen için 6 nokta
- 3. adımda: Kenar uzunluğu 3 birim olan üçgen için 10 nokta

kullanılmıştır.

Buna göre, bu örüntünün kaçıncı adımında kullanılan toplam nokta sayısı, 12. adımında kullanılan toplam nokta sayısından 36 eksiktir?

Aşağıda bir kart oyununda kullanılan kartların üzerindeki sayılar ve çevrelerindeki nokta sayıları belirli bir düzene göre verilmiştir:

* 1. kart: Kartın üzerinde $3$ yazmaktadır ve çevresinde $1$ nokta vardır.
* 2. kart: Kartın üzerinde $6$ yazmaktadır ve çevresinde $3$ nokta vardır.
* 3. kart: Kartın üzerinde $9$ yazmaktadır ve çevresinde $5$ nokta vardır.

Bu düzene göre hazırlanan 6. kartın üzerindeki sayı ile çevresindeki nokta sayısının toplamı kaçtır?

Aşağıda, sayıların belirli bir mantıksal kurala göre yerleştirildiği bir sayı ve şekil örüntüsünün ilk üç adımı verilmiştir:

1. Adım:

2
5 3
13

2. Adım:

3
7 4
25

3. Adım:

4
9 5
41

Her adımda üstte, solda, sağda ve altta bulunan sayılar arasında aynı mantıksal kural geçerlidir.

Buna göre, bu örüntünün 6. adımındaki düzeneğin altında bulunan sayı aşağıdakilerden hangisidir?

Birim karelerden oluşan bir şekil örüntüsünün adımlarındaki mavi ve beyaz birim karelerin yerleşimi belirli bir kurala göre yapılmaktadır. Bu örüntünün ilk dört adımıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* 1. Adım: $1$ adet beyaz birim kare bulunmaktadır (mavi kare yoktur).
* 2. Adım: $1$. adımdaki beyaz karenin etrafına $4$ adet mavi birim kare eklenmiştir.
* 3. Adım: $2$. adımdaki mavi kareler beyaza dönüştürülmüş ve bu şeklin etrafına $16$ adet mavi birim kare eklenmiştir.
* 4. Adım: $3$. adımdaki mavi kareler beyaza dönüştürülmüş ve bu şeklin etrafına $24$ adet mavi birim kare eklenmiştir.

Bu şekilde devam eden örüntünün her yeni adımında, bir önceki adımdaki mavi kareler beyaza dönüşmekte ve şeklin en dış kısmına belirli bir kurala göre yeni mavi kareler eklenmektedir.

Buna göre, bu örüntünün $8$. adımında elde edilen şekildeki beyaz birim kare sayısı, mavi birim kare sayısından kaç fazladır?