Examkin

Question

Difficulty: MediumSayı ve Şekil Örüntüleri

Bir kenarı nn birim olan eşkenar üçgenlerin köşelerine ve kenarları üzerine, 1 birim aralıklarla noktalar yerleştirilerek bir şekil örüntüsü oluşturuluyor. Bu örüntünün ilk üç adımı aşağıda modellenmiştir:

- 1. adımda: Kenar uzunluğu 1 birim olan üçgen için 3 nokta
- 2. adımda: Kenar uzunluğu 2 birim olan üçgen için 6 nokta
- 3. adımda: Kenar uzunluğu 3 birim olan üçgen için 10 nokta

kullanılmıştır.

Buna göre, bu örüntünün kaçıncı adımında kullanılan toplam nokta sayısı, 12. adımında kullanılan toplam nokta sayısından 36 eksiktir?

  1. A
    7
  2. B
    8
  3. 9Answer
  4. D
    10
  5. E
    11

Answer

9. adımda kullanılan toplam nokta sayısı, 12. adımda kullanılan toplam nokta sayısından 36 eksiktir.
Doğru seçenekte belirtilen adım sayısı 9'dur. Örüntünün kuralı nn. adım için (n+1)(n+2)2\frac{(n+1)(n+2)}{2} şeklindedir. 12. adımdaki nokta sayısı 13×142=91\frac{13 \times 14}{2} = 91 olarak bulunur. 91 sayısından 36 çıkarıldığında 55 elde edilir. Nokta sayısının 55 olduğu adım sayısını bulmak için (k+1)(k+2)2=55\frac{(k+1)(k+2)}{2} = 55 denklemi çözülür ve (k+1)(k+2)=110(k+1)(k+2) = 110 eşitliğinden k=9k = 9 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Örüntünün genel kuralını belirleme
nn. adımdaki toplam nokta sayısı Tn+1=(n+1)(n+2)2T_{n+1} = \frac{(n+1)(n+2)}{2} formülü ile bulunur.
1. adımda 3 nokta (2×32=3\frac{2 \times 3}{2} = 3), 2. adımda 6 nokta (3×42=6\frac{3 \times 4}{2} = 6) ve 3. adımda 10 nokta (4×52=10\frac{4 \times 5}{2} = 10) kullanıldığı görülmektedir. Bu sayılar ardışık tam sayıların toplamına (üçgensel sayılara) karşılık gelmektedir.
2
12. adımdaki nokta sayısını hesaplama
12. adımda (12+1)(12+2)2=13×142=91\frac{(12+1)(12+2)}{2} = \frac{13 \times 14}{2} = 91 nokta bulunur.
Belirlenen genel kuralda nn yerine 12 yazılarak 12. adımdaki nokta sayısı elde edilir.
3
Hedef nokta sayısını belirleme
91−36=5591 - 36 = 55 nokta olmalıdır.
Soruda istenen durum, aranan adımdaki nokta sayısının 12. adımdaki nokta sayısından 36 eksik olmasıdır.
4
Hedef nokta sayısına ulaşan adım sayısını bulma
(k+1)(k+2)2=55⇒(k+1)(k+2)=110⇒k+1=10⇒k=9\frac{(k+1)(k+2)}{2} = 55 \Rightarrow (k+1)(k+2) = 110 \Rightarrow k+1 = 10 \Rightarrow k = 9 olarak bulunur.
Toplam nokta sayısının 55 olduğu adım numarası olan kk değerini bulmak için örüntü kuralı denklemine eşitlenir.

Key Concept

Üçgensel sayı örüntülerinin formülleştirilmesi ve adım sayısına bağlı olarak terim hesaplama.
Rate this question

Topics

Sayı ve Şekil Örüntüleri

More questions from this topic