Examkin

Question

Difficulty: MediumParalel Doğrular Arası Uzaklık
Analitik düzlemde, iki paralel caddenin kenarları sırasıyla
3x−4y+12=03x - 4y + 12 = 0
6x−8y−16=06x - 8y - 16 = 0
doğruları ile modellenmiştir.

Bu iki cadde arasına, her iki caddeye de teğet olacak şekilde inşa edilebilecek en büyük dairesel kavşağın yarıçapı kaç birimdir?

  1. 2Answer
  2. B
    4
  3. C
    2,8
  4. D
    5,6
  5. E
    0,8

Answer

Dairesel kavşağın yarıçapı 2 birimdir.
İki paralel cadde kenarı arasındaki en kısa uzaklık, bu caddelere teğet olacak dairesel kavşağın çapını verir. Doğruların xx ve yy katsayıları eşitlendiğinde denklemler 6x−8y+24=06x - 8y + 24 = 0 ve 6x−8y−16=06x - 8y - 16 = 0 olur. Bu iki paralel doğru arasındaki uzaklık d=∣24−(−16)∣62+(−8)2=4d = \frac{|24 - (-16)|}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}} = 4 birimdir. Dairenin çapı 4 birim olduğundan yarıçapı 2 birim bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Birinci doğrunun denklemini 2 ile genişletmek
6x−8y+24=06x - 8y + 24 = 0
Paralel doğrular arası uzaklık formülünü uygulayabilmek için her iki denklemdeki xx ve yy katsayılarının aynı olması gerekir.
2
İki paralel doğru arasındaki uzaklık formülün�� uygulamak
d=∣24−(−16)∣62+(−8)2=4010=4d = \frac{|24 - (-16)|}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}} = \frac{40}{10} = 4 birim
Bu iki doğruya teğet olan en büy��k dairenin çapı, doğrular arasındaki en kısa uzaklığa (dd) eşittir.
3
Çapı ikiye bölerek yarıçapı bulmak
r=d2=42=2r = \frac{d}{2} = \frac{4}{2} = 2 birim
Dairenin yarıçapı, çapının yarısına eşittir.

Key Concept

Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülünün geometrik modellemelerde kullanılması

Hints

1
İki paralel doğru arasındaki uzaklığı bulmak için öncelikle iki doğrunun denklemindeki xx ve yy katsayılarını eşitlemelisiniz.
2
Katsayıları eşitledikten sonra d=∣C1−C2∣A2+B2d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} formülüyle doğrular arasındaki mesafeyi (kavşağın çapını) bulun.
3
Kavşağın çapını 4 birim bulduktan sonra, soruda sizden çap değil yarıçap (rr) istendiğini unutmayın.

Practice More

Benzer şekilde, iki paralel doğru arasına çizilebilecek en büyük karenin alanını bulmaya yönelik soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Birinci doğru üzerinde keyfi bir nokta seçilebilir. Örneğin 3x−4y+12=03x - 4y + 12 = 0 doğrusu üzerinde x=0x = 0 için y=3y = 3 noktası ((0,3)(0, 3)) bulunur. Bu noktanın 6x−8y−16=06x - 8y - 16 = 0 doğrusuna olan uzaklığı noktanın doğruya uzaklığı formülüyle hesaplanarak caddeler arası mesafe (çap) yine 4 birim olarak elde edilir. Buradan yarıçap 2 birim bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Paralel Doğrular Arası Uzaklık

More questions from this topic