Examkin

Question

Difficulty: MediumHarf-Rakam Aritmetiği (Çarpma ve Bölme)
AA, BB ve CC sıfırdan ve birbirinden farklı birer rakamdır.
AB×BCAB\begin{array}{r} AB \\ \times \quad B \\ \hline C A B \end{array}
Yukarıdaki çarpma işleminde ABAB iki basamaklı, CABCAB ise üç basamaklı birer doğal sayıdır.

A<BA < B olduğuna göre, A+B+CA + B + C toplamı kaçtır?

  1. A
    6
  2. B
    10
  3. 8Answer
  4. D
    12
  5. E
    15

Answer

Doğru yanıt 8 değeridir. A=2,B=5,C=1A=2, B=5, C=1 rakamları çarpma işlemini ve tüm kısıtlamaları sağlamaktadır.
Çarpma işleminin matematiksel analizi yapıldığında (10A+B)(B−1)=100C(10A + B)(B - 1) = 100C eşitliği elde edilir. Bu eşitliği ve değişkenlerin sıfırdan farklı, birbirlerinden farklı rakamlar olması koşulunu sağlayan iki durum vardır: 25×5=12525 \times 5 = 125 ve 75×5=37575 \times 5 = 375. Soruda ek olarak verilen A<BA < B koşulunu sağlayan tek durum 2<52 < 5 ile 25×5=12525 \times 5 = 125 işlemidir. Buradan A=2,B=5,C=1A=2, B=5, C=1 bulunur ve toplamları 2+5+1=82+5+1=8 olur.

Step-by-Step Solution

1
Çarpma işlemini basamak analizine göre yazarak bir denklem oluşturalım.
AB×B=CAB⇒(10A+B)×B=100C+10A+BAB \times B = CAB \Rightarrow (10A + B) \times B = 100C + 10A + B
Harf-rakam aritmetiği sorularında basamak analizi yapmak bilinmeyenler arasındaki ilişkiyi görmeyi kolaylaştırır.
2
Oluşan denklemi düzenleyelim ve ortak çarpan parantezine alalım.
10AB+B2=100C+10A+B⇒10A(B−1)+B(B−1)=100C⇒(10A+B)(B−1)=100C10AB + B^2 = 100C + 10A + B \Rightarrow 10A(B - 1) + B(B - 1) = 100C \Rightarrow (10A + B)(B - 1) = 100C
Bilinmeyenleri gruplayarak çarpım durumuna getirmek, rakamların alabileceği değerleri sınırlandırmamıza yardımcı olur.
3
Değişkenlerin rakam olduğunu ve sıfırdan farklı olduğunu göz önünde bulundurarak denklemi sağlayan değerleri bulalım.
B=5B=5 için denklem (10A+5)×4=100C⇒10A+5=25C(10A + 5) \times 4 = 100C \Rightarrow 10A + 5 = 25C şeklini alır. Burada CC tek sayı olmalıdır. C=1C=1 için A=2A=2 (rakamlar kümesi: A=2,B=5,C=1A=2, B=5, C=1) ve C=3C=3 için A=7A=7 (rakamlar kümesi: A=7,B=5,C=3A=7, B=5, C=3) çözümleri elde edilir.
Denklemin sağ tarafı 100'ün katı olduğundan sol taraftaki çarpanların bu durumu nasıl sağlayacağını analiz etmek gerekir.
4
Bulunan rakam gruplarından hangisinin A<BA < B öncülünü sağladığını belirleyelim ve toplamı hesaplayalım.
A<BA < B koşulunu yalnızca A=2,B=5,C=1A=2, B=5, C=1 grubu sağlar (2<52 < 5). Bu durumda rakamlar toplamı 2+5+1=82 + 5 + 1 = 8 olarak bulunur.
Soruda verilen tüm kısıtlayıcı öncüllerin (rakamların birbirinden farklı olması, sıfırdan farklı olması ve A<BA < B koşulu) aynı anda sağlanması gerekir.

Key Concept

Basamak analizi ve değer verme yoluyla harf-rakam aritmetiği problemlerini çözme
Rate this question

Topics

Harf-Rakam Aritmetiği (Çarpma ve Bölme)

More questions from this topic