Examkin

Question

Difficulty: MediumHarf-Rakam Aritmetiği (Çarpma ve Bölme)

İki basamaklı KLKL doğal sayısı ile tek basamaklı MM doğal sayısı çarpıldığında üç basamaklı 1ML1ML doğal sayısı elde edilmektedir.

Her biri sıfırdan büy��k ve birbirinden farklı olan KK, LL ve MM rakamları için K+L+MK + L + M toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

  1. A
    12
  2. B
    13
  3. C
    14
  4. 16Answer
  5. E
    15

Answer

K + L + M toplamının alabileceği en büyük değer 16'dır.
Verilen çarpma işlemi 10M(K−1)+L(M−1)=10010M(K-1) + L(M-1) = 100 şeklinde düzenlendiğinde, L(M−1)L(M-1) çarpımının 10'un katı olması gerektiği görülür. Rakamların sıfırdan büyük ve birbirinden farklı olması koşulu altında bu durumu sağlayan en büyük değerler K=2,L=8,M=6K=2, L=8, M=6 olarak bulunur. Bu rakamlar için 28×6=16828 \times 6 = 168 eşitliği sağlanır ve toplam 2+8+6=162+8+6=16 olur.

Step-by-Step Solution

1
Çarpma işlemini basamak çözümlemesi kullanarak bir denklem haline getirin.
M⋅(10K+L)=100+10M+LM \cdot (10K + L) = 100 + 10M + L
Harfli ifadeleri çözerek değişkenler arasındaki cebirsel ilişkiyi belirlemek.
2
Elde edilen denklemi sadeleştirip ortak paranteze alın.
10M(K−1)+L(M−1)=10010M(K - 1) + L(M - 1) = 100
Denklemi rakam değerlerini denemeyi kolaylaştıracak şekilde gruplandırmak.
3
Denklemin sol tarafındaki terimlerin 10'un katı olma durumunu inceleyin.
10M(K−1)10M(K-1) ve 100100 sayıları 10'un katı olduğundan, L(M−1)L(M-1) ifadesi de 10'un katı olmalıdır.
Değişkenlerin alabileceği değer aralığını ve olası durumları daraltmak.
4
Farklı LL ve MM rakamları için L(M−1)L(M-1) çarpımının 10'un katı olduğu durumları inceleyerek KK değerlerini bulun.
Üç farklı geçerli çözüm elde edilir: 45×3=13545 \times 3 = 135 (toplam 12), 25×7=17525 \times 7 = 175 (toplam 14) ve 28×6=16828 \times 6 = 168 (toplam 16).
Tüm olası çözümleri bulup toplamı en büyük yapan rakamları belirlemek.

Key Concept

Harf-Rakam Aritmetiği (Çarpma ve Bölme)

Hints

1
Çarpma işlemini M⋅(10K+L)=100+10M+LM \cdot (10K + L) = 100 + 10M + L biçiminde basamaklarına ayırarak yazın.
2
Denklemi düzenleyerek 10M(K−1)+L(M−1)=10010M(K-1) + L(M-1) = 100 elde edin. Burada 10M(K−1)10M(K-1) ve 100100 sayıları 10'un katı olduğuna göre L(M−1)L(M-1) çarpımı da 10'un katı olmalıdır.

Practice More

Benzer mantıkla AB×A=CBBAB \times A = CBB eşitliğini sağlayan sıfırdan farklı rakamların toplamını bulmaya çalışabilirsiniz.

Alternative Method

Alternatif olarak, MM rakamına değerler vererek (örneğin M=3,5,6,7M=3, 5, 6, 7) çarpma işleminin birler basamağını sağlayan LL rakamlarını bulup ardından KK değerlerini kontrol edebilirsiniz. Örneğin M=6M=6 için L×6L \times 6 çarpımının birler basamağının LL olması için LL çift olmalıdır. L=8L=8 için 8×6=488 \times 6 = 48 (elde 4) olur, K×6+4=16⇒6K=12⇒K=2K \times 6 + 4 = 16 \Rightarrow 6K = 12 \Rightarrow K=2 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Harf-Rakam Aritmetiği (Çarpma ve Bölme)

More questions from this topic