Bir ABCD deltoidinde |AB| = |AD|'dir. Deltoidin [AC] ve [BD] köşegenleri K noktasında kesi… — ALES

Bir $ABCD$ deltoidinde $|AB| = |AD|$ 'dir. Deltoidin $[AC]$ ve $[BD]$ köşegenleri $K$ noktasında kesişmektedir. $|AC| = 16\text{ cm}$ , $|BD| = 12\text{ cm}$ ve $|AK| = 8\text{ cm}$ 'dir. Bu deltoidin $[BC]$ kenarının orta noktası $E$ , $[CD]$ kenarının orta noktası $F$ olduğuna göre, $KEF$ üçgeninin çevresi kaç santimetredir?

A
14
16Answer
C
18
D
20
E
22

Answer

Deltoidin köşegenleri dik kesiştiği için

AC

BD

birbirine diktir.

|AB| = |AD|

olduğundan

AC

köşegeni

BD

'yi ortalar, yani

|KB| = |KD| = 6\text{ cm}

olur.

|AC| = 16\text{ cm}

|AK| = 8\text{ cm}

verildiğinden

|KC| = 8\text{ cm}

kalır. Dik açılı

DKC

üçgeninde kenarlar

6\text{ cm}

8\text{ cm}

olduğundan hipotenüs

|CD| = 10\text{ cm}

olur. Deltoid özelliğinden

|BC| = |CD| = 10\text{ cm}

'dir.

K

E

F

noktaları

BCD

üçgeninin sırasıyla

BD

BC

CD

kenarlarının orta noktalarıdır. Üçgende orta taban özelliğine göre;

|KE| = 5\text{ cm}

|KF| = 5\text{ cm}

|EF| = 6\text{ cm}

olur. Buradan

KEF

üçgeninin çevresi

5 + 5 + 6 = 16\text{ cm}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

Deltoidin köşegen özelliklerini uygulayarak kesişim noktası özelliklerini belirleme.

[AC] \perp [BD]

|KB| = |KD| = \frac{|BD|}{2} = \frac{12}{2} = 6\text{ cm}

olur.

Deltoidde farklı uzunluktaki kenarların birleştiği köşeleri birleştiren köşegen (

AC

), diğer köşegeni (

BD

) dik keser ve ortalar.

|KC|

uzunluğunu hesaplama.

|KC| = |AC| - |AK| = 16 - 8 = 8\text{ cm}

bulunur.

K

noktası

[AC]

köşegeni üzerinde olduğundan tüm uzunluktan verilen

|AK|

parçası çıkarılır.

Dik üçgende Pisagor bağıntısını kullanarak deltoidin

[CD]

[BC]

kenar uzunluklarını bulma.

\triangle DKC

dik üçgeninde

|KD| = 6\text{ cm}

|KC| = 8\text{ cm}

olduğundan,

|CD|^2 = 6^2 + 8^2 = 100 \implies |CD| = 10\text{ cm}

olur. Deltoid tanımından

|BC| = |CD| = 10\text{ cm}

'dir.

[AC] \perp [BD]

olduğundan

DKC

bir dik üçgendir ve 6-8-10 özel dik üçgeni kuralı geçerlidir.

KEF

üçgeninin kenar uzunluklarını orta taban veya muhte��em üçlü özellikleriyle bulma.

|KE| = \frac{|CD|}{2} = 5\text{ cm}

|KF| = \frac{|BC|}{2} = 5\text{ cm}

(veya muhteşem üçlüden dik üçgenlerin hipotenüs yarısı) ve

|EF| = \frac{|BD|}{2} = 6\text{ cm}

elde edilir.

E

F

K

noktaları

\triangle BCD

üçgeninin kenar orta noktaları olduğundan, oluşan segmentler orta taban özelliğini taşır.

KEF

üçgeninin çevresini hesaplama.

\text{Çevre}(KEF) = 5 + 5 + 6 = 16\text{ cm}

olarak bulunur.

Bir üçgenin çevresi tüm kenar uzunluklarının toplamına eşittir.

Key Concept

Deltoidin köşegenlerinin dik kesişmesi, ortalama özelliği ve üçgende orta taban / muhteşem üçlü bağıntıları.

Hints

Deltoidin köşegenlerinin birbirini nasıl kestiğini ve diklik durumunu düşünün.

Köşegenlerin kesişimiyle oluşan dik üçgenlerde Pisagor bağıntısını uygulayarak deltoidin kenar uzunluklarını bulun.

Oluşan

KEF

üçgeninin kenarlarının,

BCD

üçgeninin orta tabanları olduğunu fark edin.

Practice More

Deltoidin köşegenlerinin diklik özelliğini benzer şekilde eşkenar dörtgen veya kare sorularında da uygulayarak pratik yapabilirsiniz.

Alternative Method

Muhteşem üçlü özelliğini kullanarak çözebiliriz:

K

açısı dik açı olduğundan,

BKC

dik üçgeninde hipotenüse ait kenarortay

KE

uzunluğu hipotenüsün yarısıdır. Dolayısıyla

|KE| = \frac{|BC|}{2}

olur. Benzer şekilde

DKC

dik üçgeninde

|KF| = \frac{|CD|}{2}

olur.

EF

ise

BCD

üçgeninde orta taban olduğundan

|EF| = \frac{|BD|}{2}

olur. Bu bağıntılar doğrudan sonuca ulaştırır.

Estimated Time:1m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Topics

More questions from this topic