Özel Dörtgenler Practice Questions — ALES

Question 1Question →

Şekildeki $ABCD$ eşkenar dörtgeninde köşegenler $E$ noktasında kesişmektedir. Köşegen uzunlukları $|AC| = 12$ cm ve $|BD| = 16$ cm olduğuna göre, bu eşkenar dörtgenin çevresi kaç santimetredir?

56

40

80

96

28

Show answer & explanation

Answer: 40

Answer

Eşkenar dörtgenin çevresi 40 santimetredir.

Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik keserek ortalar. Köşegen uzunlukları 12 cm ve 16 cm olan bu dörtgende, köşegenlerin kesişiminde kenarları 6 cm ve 8 cm olan dik üçgenler oluşur. 6-8-10 özel dik üçgeninden eşkenar dörtgenin bir kenar uzunluğu 10 cm olarak hesaplanır. Eşkenar dörtgenin dört kenarı da eşit uzunlukta olduğundan çevre uzunluğu

4 \times 10 = 40

cm olur.

Step-by-Step Solution

1

Eşkenar dörtgenin köşegen özelliklerini belirleme.

Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik keser ve ortalar. Bu durumda, köşegenlerin kesim noktası

E

olmak üzere;

|AE| = |EC| = \frac{12}{2} = 6

cm ve

|BE| = |ED| = \frac{16}{2} = 8

cm bulunur.

DEC

üçgeni (veya di��er eş üçgenler) bir dik üçgendir.

Köşegen uzunluklarından kenar uzunluğuna geçiş yapabilmek için dik üçgen oluşturulması gerekir.

2

Dik üçgende Pisagor teoremi yardımıyla bir kenar uzunluğunu bulma.

|DC|^2 = |DE|^2 + |EC|^2 \implies |DC|^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \implies |DC| = 10

cm elde edilir.

Eşkenar dörtgenin çevre uzunluğunu hesaplamak için bir kenar uzunluğunun bulunması şarttır.

3

Eşkenar dörtgenin çevre formülünü uygulama.

Tüm kenar uzunlukları eşit olduğundan Çevre

= 4 \times |DC| = 4 \times 10 = 40

cm olarak bulunur.

Bir kenar uzunluğu bilinen eşkenar dörtgenin toplam çevre uzunluğuna ulaşmak.

Key Concept

Eşkenar dörtgenin köşegenlerinin birbirini dik ortalaması ve Pisagor bağıntısı yardımıyla kenar uzunluğunun bulunması.

Estimated Time:1m 0s

Question 2Question →

Bir $ABCD$ deltoidinde $|AB| = |AD|$ 'dir. Deltoidin $[AC]$ ve $[BD]$ köşegenleri $K$ noktasında kesişmektedir. $|AC| = 16\text{ cm}$ , $|BD| = 12\text{ cm}$ ve $|AK| = 8\text{ cm}$ 'dir. Bu deltoidin $[BC]$ kenarının orta noktası $E$ , $[CD]$ kenarının orta noktası $F$ olduğuna göre, $KEF$ üçgeninin çevresi kaç santimetredir?

14

16

18

20

22

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

16

Deltoidin köşegenleri dik kesiştiği için

AC

ve

BD

birbirine diktir.

|AB| = |AD|

olduğundan

AC

köşegeni

BD

'yi ortalar, yani

|KB| = |KD| = 6\text{ cm}

olur.

|AC| = 16\text{ cm}

ve

|AK| = 8\text{ cm}

verildiğinden

|KC| = 8\text{ cm}

kalır. Dik açılı

DKC

üçgeninde kenarlar

6\text{ cm}

ve

8\text{ cm}

olduğundan hipotenüs

|CD| = 10\text{ cm}

olur. Deltoid özelliğinden

|BC| = |CD| = 10\text{ cm}

'dir.

K

,

E

ve

F

noktaları

BCD

üçgeninin sırasıyla

BD

,

BC

ve

CD

kenarlarının orta noktalarıdır. Üçgende orta taban özelliğine göre;

|KE| = 5\text{ cm}

,

|KF| = 5\text{ cm}

ve

|EF| = 6\text{ cm}

olur. Buradan

KEF

üçgeninin çevresi

5 + 5 + 6 = 16\text{ cm}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Deltoidin köşegen özelliklerini uygulayarak kesişim noktası özelliklerini belirleme.

[AC] \perp [BD]

ve

|KB| = |KD| = \frac{|BD|}{2} = \frac{12}{2} = 6\text{ cm}

olur.

Deltoidde farklı uzunluktaki kenarların birleştiği köşeleri birleştiren köşegen (

AC

), diğer köşegeni (

BD

) dik keser ve ortalar.

2

|KC|

uzunluğunu hesaplama.

|KC| = |AC| - |AK| = 16 - 8 = 8\text{ cm}

bulunur.

K

noktası

[AC]

köşegeni üzerinde olduğundan tüm uzunluktan verilen

|AK|

parçası çıkarılır.

3

Dik üçgende Pisagor bağıntısını kullanarak deltoidin

[CD]

ve

[BC]

kenar uzunluklarını bulma.

\triangle DKC

dik üçgeninde

|KD| = 6\text{ cm}

ve

|KC| = 8\text{ cm}

olduğundan,

|CD|^2 = 6^2 + 8^2 = 100 \implies |CD| = 10\text{ cm}

olur. Deltoid tanımından

|BC| = |CD| = 10\text{ cm}

'dir.

[AC] \perp [BD]

olduğundan

DKC

bir dik üçgendir ve 6-8-10 özel dik üçgeni kuralı geçerlidir.

4

KEF

üçgeninin kenar uzunluklarını orta taban veya muhte��em üçlü özellikleriyle bulma.

|KE| = \frac{|CD|}{2} = 5\text{ cm}

,

|KF| = \frac{|BC|}{2} = 5\text{ cm}

(veya muhteşem üçlüden dik üçgenlerin hipotenüs yarısı) ve

|EF| = \frac{|BD|}{2} = 6\text{ cm}

elde edilir.

E

,

F

ve

K

noktaları

\triangle BCD

üçgeninin kenar orta noktaları olduğundan, oluşan segmentler orta taban özelliğini taşır.

5

KEF

üçgeninin çevresini hesaplama.

\text{Çevre}(KEF) = 5 + 5 + 6 = 16\text{ cm}

olarak bulunur.

Bir üçgenin çevresi tüm kenar uzunluklarının toplamına eşittir.

Key Concept

Deltoidin köşegenlerinin dik kesişmesi, ortalama özelliği ve üçgende orta taban / muhteşem üçlü bağıntıları.

Hints

1

Deltoidin köşegenlerinin birbirini nasıl kestiğini ve diklik durumunu düşünün.

2

Köşegenlerin kesişimiyle oluşan dik üçgenlerde Pisagor bağıntısını uygulayarak deltoidin kenar uzunluklarını bulun.

3

Oluşan

KEF

üçgeninin kenarlarının,

BCD

üçgeninin orta tabanları olduğunu fark edin.

Practice More

Deltoidin köşegenlerinin diklik özelliğini benzer şekilde eşkenar dörtgen veya kare sorularında da uygulayarak pratik yapabilirsiniz.

Alternative Method

Muhteşem üçlü özelliğini kullanarak çözebiliriz:

K

açısı dik açı olduğundan,

BKC

dik üçgeninde hipotenüse ait kenarortay

KE

uzunluğu hipotenüsün yarısıdır. Dolayısıyla

|KE| = \frac{|BC|}{2}

olur. Benzer şekilde

DKC

dik üçgeninde

|KF| = \frac{|CD|}{2}

olur.

EF

ise

BCD

üçgeninde orta taban olduğundan

|EF| = \frac{|BD|}{2}

olur. Bu bağıntılar doğrudan sonuca ulaştırır.

Estimated Time:1m 30s

Question 3Question →

Bir $ABCD$ ikizkenar yamuğunda $[AB] \parallel [DC]$ , $|AD| = |BC|$ ve $[AC] \perp [BC]$ 'dir. Yamuğun taban uzunlukları $|AB| = 10\text{ cm}$ ve $|DC| = 6\text{ cm}$ olduğuna göre, $ABCD$ yamuğunun alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

16

24

32

48

64

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

Yamuğun alanı

32\text{ cm}^2

olarak bulunur.

Yamuğun köşelerinden indirilen dikmelerle elde edilen parçalar kullanılarak Öklid bağıntısı ile yükseklik

4\text{ cm}

olarak hesaplanır. Buradan alan formülü uygulandığında doğru sonuç olan

32\text{ cm}^2

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

İkizkenar yamuğun üst köşelerinden tabana dikmeler edilir.

D

ve

C

köşelerinden

[AB]

tabanına

[DH]

ve

[CK]

dikmeleri indirildiğinde;

|HK| = |DC| = 6\text{ cm}

olur.

İkizkenar yamukta üst taban köşelerinden indirilen dikmeler tabanda simetrik parçalar oluşturur.

2

Tabanda kalan simetrik parçaların uzunlukları hesaplanır.

|AH| = |KB| = \frac{|AB| - |DC|}{2} = \frac{10 - 6}{2} = 2\text{ cm}

olur. Dolayısıyla

|AK| = |AH| + |HK| = 2 + 6 = 8\text{ cm}

olarak bulunur.

İkizkenar yamuğun simetri özelliğinden dolayı

[AB]

tabanı üzerindeki dikmelerin dışında kalan köşelerdeki parçalar birbirine eşittir.

3

Yamuğun yüksekliğini bulmak için Öklid bağıntısı uygulanır.

ACB

dik üçgeninde

[CK]

hipotenüse ait yüksekliktir. Öklid bağıntıs�� gereği;

|CK|^2 = |AK| \cdot |KB| \implies h^2 = 8 \cdot 2 = 16 \implies h = 4\text{ cm}

bulunur.

Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipoten��s üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.

4

Yamuğun alanı hesaplanır.

\text{Alan}(ABCD) = \frac{|AB| + |DC|}{2} \cdot h = \frac{10 + 6}{2} \cdot 4 = 8 \cdot 4 = 32\text{ cm}^2

bulunur.

Yamuğun alanı, alt ve üst taban uzunlukları toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.

Key Concept

İkizkenar yamukta dikme indirme ve dik üçgende Öklid bağıntısı yardımıyla alan hesabı.

Question 4Question →

Bir $ABCD$ paralelkenarında $[AC]$ köşegeni çizilmiştir. $D$ köşesinden $[AC]$ köşegenine indirilen dikmenin ayağı $E$ , $B$ köşesinden $[AC]$ köşegenine indirilen dikmenin ayağı ise $F$ noktasıdır.

$|AE| = 3\text{ cm}$ , $|EF| = 8\text{ cm}$ ve $|DE| = 4\text{ cm}$ olduğuna göre, $ABCD$ paralelkenarının alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

28

32

44

56

76

Show answer & explanation

Answer: 56

Answer

Paralelkenarın alanı 56 santimetrekaredir.

Paralelkenarın karşılıklı kenarları paralel ve eşit uzunlukta olduğundan,

D

ve

B

köşelerinden köşegene indirilen dikmeler eş üçgenler oluşturur. Buradan

|CF| = |AE| = 3\text{ cm}

elde edilir. Köşegenin toplam uzunluğu

|AC| = 3 + 8 + 3 = 14\text{ cm}

olur. Paralelkenarın alanı ise

|AC| \times |DE| = 14 \times 4 = 56\text{ cm}^2

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Paralelkenarın karşılıklı kenarlarının paralelliğini ve uzunluklarının eşitliğini kullanarak üçgenler arasındaki eşliği belirleme.

AD \parallel BC

olduğu için iç ters aç��lardan

m(\widehat{DAE}) = m(\widehat{BCF})

olur.

[DE] \perp [AC]

ve

[BF] \perp [AC]

olduğundan

\triangle ADE

ve

\triangle CBF

dik üçgenlerdir. Hipotenüsleri eşit (

|AD| = |BC|

) ve birer dar açıları eşit olduğu için

\triangle ADE \cong \triangle CBF

(Eş üçgenler) olur.

Köşegen üzerinde ayrılan parçaların uzunluklarını belirlemek için eşlik kuralı uygulanmalıdır.

2

Eşlikten faydalanarak bilinmeyen parça uzunluklarını bulma.

Üçgenlerin eşliğinden dolayı,

|CF| = |AE| = 3\text{ cm}

ve

|BF| = |DE| = 4\text{ cm}

elde edilir.

Köşegenin toplam uzunluğunu bulmak için tüm parçaların bilinmesi gerekir.

3

[AC]

köşegeninin toplam uzunluğunu hesaplama.

|AC| = |AE| + |EF| + |FC| = 3 + 8 + 3 = 14\text{ cm}

bulunur.

Paralelkenarı oluşturan üçgenlerin ortak taban uzunluğunu elde etmek için.

4

Paralelkenarın toplam alanını hesaplama.

ABCD

paralelkenarının alanı,

[AC]

köşegeninin ayırdığı iki eş üçgenin alanları toplamına eşittir.

\text{Alan}(ABCD) = 2 \times \text{Alan}(\triangle ADC) = 2 \times \frac{|AC| \times |DE|}{2} = |AC| \times |DE| = 14 \times 4 = 56\text{ cm}^2

bulunur.

Taban ve bu tabana ait yükseklik bilindiğinden alan formülüyle sonuca ulaşılır.

Key Concept

Paralelkenarda köşegenin özelliklerini ve karşılıklı köşelerden köşegene indirilen dikmelerin eşliğini kullanarak alan hesaplama.

Hints

1

Paralelkenarın karşılıklı kenarları paralel olduğundan iç ters açıları belirleyerek benzer veya eş üçgenler aramayı deneyin.

2

AD \parallel BC

bilgisini kullanarak

\triangle ADE

ve

\triangle CBF

dik üçgenlerinin eş olduğunu gösterin. Buradan

|CF|

uzunluğunu bulun.

3

|CF| = |AE| = 3\text{ cm}

olduğunu bulduktan sonra köşegenin toplam uzunluğunu hesaplayıp alanın

|AC| \times |DE|

formülüyle bulunacağını hatırlayın.

Practice More

Karşılıklı iki köşeden köşegene dikme indirildiğinde oluşan eş dik üçgenlerin özelliklerini pekiştirmek için benzer bir soruyu dikdörtgen üzerinde çözebilirsiniz.

Alternative Method

Paralelkenarın alanını, iki ayrı dik üçgen (

\triangle ADE

ve

\triangle CBF

) ile ortadaki iki üçgenin veya dikdörtgensel bölgenin alanlarının toplamı şeklinde parçalayarak da bulabilirsiniz.

\text{Alan}(\triangle ADE) = \text{Alan}(\triangle CBF) = \frac{3 \times 4}{2} = 6\text{ cm}^2

ve ortadaki

[DE]

ile

[BF]

yüksekliklerinin sınırladığı bölgelerin alanları toplamını taban parçalarıyla çarparak hesaplayabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Özel Dörtgenler

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method