Examkin

Question

Difficulty: MediumAnalitik Geometri
Dik koordinat düzleminde,
y=2x−4y = 2x - 4
y=−x+5y = -x + 5
doğruları ile yy-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
  1. 272\frac{27}{2}Answer
  2. B
    32\frac{3}{2}
  3. C
    3
  4. D
    27
  5. E
    6

Answer

Doğrular ile y-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı \frac{27}{2} birimkaredir.
Verilen doğruların ortak çözümü yapılarak kesişim noktasının koordinatları (3,2)(3, 2) olarak bulunur. Bu noktanın apsisi (33), y-eksenini taban kabul eden üçgenin yüksekliğidir. Doğruların y-eksenini kestiği noktalar olan (0,−4)(0, -4) ve (0,5)(0, 5) arasındaki uzaklık ise taban uzunluğu olan 99 birimi verir. Buradan üçgenin alanı 9×32=272\frac{9 \times 3}{2} = \frac{27}{2} birimkare olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Doğruların kesişim noktasını bulmak üzere ortak çözüm yapın.
2x−4=−x+5⇒3x=9⇒x=32x - 4 = -x + 5 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3 bulunur. Bu değer kesişim noktasının apsisidir ve y-eksenine olan dik uzaklığı (yüksekliği) temsil eder. Herhangi bir denklemde yerine yazıldığında y=2(3)−4=2y = 2(3) - 4 = 2 elde edilir. Kesişim noktası (3,2)(3, 2)'dir.
Bölgeyi sınırlayan köşelerden birini ve bu köşeden y-eksenine indirilen yüksekliğin uzunluğunu bulmak için ortak çözüm gereklidir.
2
Doğruların y-eksenini kestiği noktaları belirlemek için denklemlerde x=0x = 0 yazın.
y=2x−4y = 2x - 4 doğrusu için x=0⇒y=−4x = 0 \Rightarrow y = -4 olur. Nokta: (0,−4)(0, -4).
y=−x+5y = -x + 5 doğrusu için x=0⇒y=5x = 0 \Rightarrow y = 5 olur. Nokta: (0,5)(0, 5).
Üçgenin y-ekseni üzerinde kalan tabanının uç noktalarını belirlemek için eksen kesim noktaları bulunmalıdır.
3
y-ekseni üzerindeki iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplayarak taban uzunluğunu bulun.
Taban uzunluğu (bb) = ∣5−(−4)∣=9|5 - (-4)| = 9 birimdir.
Üçgenin alanını hesaplayabilmek için y-ekseni üzerindeki taban kenarının uzunluğuna ihtiyaç duyulur.
4
Taban ve yükseklik değerlerini üçgenin alan formülünde yerine yazın.
Alan=Taban×Yu¨kseklik2=9×32=272Alan = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2} = \frac{9 \times 3}{2} = \frac{27}{2} birimkare bulunur.
Yüksekliği ve taban uzunluğu bilinen üçgenin alan formülü uygulanarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Analitik düzlemde doğruların kesim noktalarının bulunması ve eksenlerle sınırladığı kapalı bölgenin alan hesabı.

Hints

1
Bölgeyi sınırlayan üçgenin köşelerinden birini bulmak için öncelikle iki doğrunun kesişim noktasını ortak çözüm yaparak bulun.
2
Kesişim noktasının y-eksenine olan dik uzaklığı (yani apsis değeri) oluşturacağınız üçgenin yüksekliğini temsil eder.
3
Doğruların y-eksenini kestiği noktaları bulmak için denklemlerde x=0x=0 yazın. Bu noktaların arasındaki mesafe üçgenin y-ekseni üzerindeki taban uzunluğunu verir.

Practice More

Bu soruyu pekiştirmek için aynı doğruların x-ekseni ile sınırladığı bölgenin alanını hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Köşe koordinatları bilinen üçgenin alan formülü kullanılabilir. Üçgenin köşeleri (0,5)(0, 5), (0,−4)(0, -4) ve (3,2)(3, 2) noktalarıdır. Bu noktalar matris/determinant biçiminde yazılarak alan formülü uygulandığında: Alan=12∣0(−4−2)+0(2−5)+3(5−(−4))∣=12∣27∣=272Alan = \frac{1}{2} |0(-4 - 2) + 0(2 - 5) + 3(5 - (-4))| = \frac{1}{2} |27| = \frac{27}{2} elde edilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Analitik Geometri

More questions from this topic