Examkin

Question

Difficulty: HardYamukta Alan

Şekildeki ABCDABCD yamuğunda [AB]∥[DC][AB] \parallel [DC]'dir. Yamuğun köşegenleri olan [AC][AC] ve [BD][BD] doğru parçaları EE noktasında kesişmektedir. DECDEC üçgeninin alanı 9 cm29\text{ cm}^2 olarak verilmiştir. EE noktasının [AB][AB] tabanına olan en kısa uzaklığı, [DC][DC] tabanına olan en kısa uzaklığının 3 katıdır. Buna göre, ABCDABCD yamuğunun alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

  1. A
    16
  2. B
    90
  3. C
    108
  4. 144Answer
  5. E
    288

Answer

Yamuğun toplam alanı 144 cm²'dir.
Köşegenlerin kesişmesiyle oluşan benzer üçgenlerin benzerlik oranı yükseklikler oranından 3 olarak bulunur. Benzer üçgenlerin alan oranı benzerlik oranının karesi (9) olduğundan alt taban üçgeninin alanı 81 cm² olur. Yan üçgenlerin alanları ise alt ve üst taban üçgenlerinin alanlarının geometrik ortalaması olan 27 cm² olarak bulunur. Yamuğun tüm alanlarının toplamı 9 + 81 + 27 + 27 = 144 cm² sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Köşegenlerin oluşturduğu benzer üçgenlerin benzerlik oranını belirlemek.
[AB]∥[CD][AB] \parallel [CD] olduğundan △CDE∼△ABE\triangle CDE \sim \triangle ABE benzerliği kurulur. EE noktasının tabanlara uzaklıkları oranı benzerlik oranını vereceğinden benzerlik oranı h2h1=3\frac{h_2}{h_1} = 3 olarak bulunur.
Paralel doğrular arasında kalan köşegenlerin oluşturduğu üçgenler benzerdir ve benzerlik oranı yüksekliklerin oranına eşittir.
2
Benzerlik oranını kullanarak tabandaki ABE üçgeninin alanını hesaplamak.
Alan(ABE)=32×Alan(DEC)=9×9=81 cm2\text{Alan}(ABE) = 3^2 \times \text{Alan}(DEC) = 9 \times 9 = 81\text{ cm}^2 bulunur.
Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
3
Yanlarda kalan AED ve BEC üçgenlerinin alanlarını hesaplamak.
Alan(AED)=Alan(BEC)=Alan(DEC)×Alan(ABE)=9×81=27 cm2\text{Alan}(AED) = \text{Alan}(BEC) = \sqrt{\text{Alan}(DEC) \times \text{Alan}(ABE)} = \sqrt{9 \times 81} = 27\text{ cm}^2 bulunur.
Yamukta köşegenlerin ayırdığı yan üçgenlerin alanları birbirine eşittir ve bu alanların karesi taban üçgenlerinin alanlarının çarpımına eşittir.
4
Tüm üçgenlerin alanlarını toplayarak yamuğun alanını bulmak.
Alan(ABCD)=9+81+27+27=144 cm2\text{Alan}(ABCD) = 9 + 81 + 27 + 27 = 144\text{ cm}^2 bulunur.
Yamuğun toplam alanı, köşegenlerin sınırladığı dört alt üçgenin alanlarının toplamına eşittir.

Key Concept

Yamukta köşegenlerin oluşturduğu benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. Ayrıca yanlarda kalan üçgenlerin alanları birbirine eşit olup taban alanlarının geometrik ortalamasıdır.

Hints

1
Köşegenlerin kesişimiyle oluşan DEC ve ABE üçgenlerinin benzer olduğunu fark edin.
2
Benzer üçgenlerde alanlar oranının benzerlik oranının karesine eşit olduğunu hatırlayarak ABE üçgeninin alanını bulun.
3
Yamukta yanlarda kalan AED ve BEC üçgenlerinin alanlarının eşit olduğunu ve Alan(AED)² = Alan(DEC) × Alan(ABE) bağıntısını sağladığını kullanın.

Practice More

Benzer bir mantıkla köşegenlerin ayırdığı yan üçgenlerin alanları bilinen bir yamukta tabanların uzunlukları oranını bulmaya yönelik sorular çözülebilir.

Alternative Method

DEC üçgeninin alanını taban (a) ve yükseklik (h₁) cinsinden a × h₁ / 2 = 9 yazarak a × h₁ = 18 olarak bulabiliriz. Benzerlik oranından dolayı alt taban 3a ve yamuğun toplam yüksekliği 4h₁ olur. Yamuğun alan formülü olan [(a + 3a) / 2] × 4h₁ = 8 × (a × h₁) / 2 = 8 × 18 = 144 cm² formülünden doğrudan sonuca ulaşabiliriz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Yamukta Alan

More questions from this topic