Examkin

Question

Difficulty: MediumKatı Cisimler

Bir ayrıtının uzunlu��u 8 cm8\text{ cm} olan içi dolu ahşap bir küpün üst yüzeyinin tam ortasından, taban ayrıtı 2 cm2\text{ cm} ve yüksekliği 3 cm3\text{ cm} olan kare dik prizma biçimindeki bir parça oyularak çıkarılıyor. Buna göre, oluşan yeni cismin toplam yüzey alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

  1. A
    384384
  2. B
    404404
  3. 408408Answer
  4. D
    412412
  5. E
    500500

Answer

Yeni cismin toplam yüzey alanı 408 cm2408\text{ cm}^2 dir.
Küpün başlangıçtaki toplam yüzey alanı 6×82=384 cm26 \times 8^2 = 384\text{ cm}^2 dir. Küpten taban ayrıtı 2 cm2\text{ cm} ve yüksekliği 3 cm3\text{ cm} olan kare dik prizma çıkarıldığında, küpün üst yüzeyinde 2×2=4 cm22 \times 2 = 4\text{ cm}^2 lik bir alan eksilir. Ancak oyulan kısmın tabanında yine 2×2=4 cm22 \times 2 = 4\text{ cm}^2 lik bir alan oluşur. Bu iki alan birbirini nötrler. Ek olarak, oyulan prizmanın iç yan yüzeyleri olan 4 adet 2×3=6 cm22 \times 3 = 6\text{ cm}^2 lik dikdörtgen yüzey (4×6=24 cm24 \times 6 = 24\text{ cm}^2) yeni yüzey alanı olarak eklenir. Dolayısıyla net alan artışı 24 cm224\text{ cm}^2 olur. Toplam yüzey alanı ise 384+24=408 cm2384 + 24 = 408\text{ cm}^2 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Küpün başlangıçtaki toplam yüzey alanını hesaplayalım.
6×82=6×64=384 cm26 \times 8^2 = 6 \times 64 = 384\text{ cm}^2
Bir ayrıtı aa olan küpün toplam yüzey alanı 6a26a^2 formül��yle bulunur.
2
Parça çıkarıldıktan sonra yüzey alanındaki azalışı belirleyelim.
Küpün üst yüzeyinden 2×2=4 cm22 \times 2 = 4\text{ cm}^2 lik bir kare alan eksilir.
Oyulan prizmanın üst tabanı açık olduğu için bu bölgedeki alan artık dış yüzeyin parçası değildir.
3
Oyuk nedeniyle eklenen yeni yüzey alanlarını hesaplayalım.
Oyuğun tabanındaki 2×2=4 cm22 \times 2 = 4\text{ cm}^2 lik kare alan ve oyuğun yanlarında oluşan 4 adet 2×3=6 cm22 \times 3 = 6\text{ cm}^2 lik dikdörtgen alan (toplam 24 cm224\text{ cm}^2) yeni yüzey olarak eklenir.
Oyuğun iç yüzeyleri cismin yeni dış yüzey sınırlarını oluşturur.
4
Net alan değişimini hesaplayarak sonuca ulaşalım.
Net değişim: −4 cm2-4\text{ cm}^2 (eksilen üst yüzey) +4 cm2+ 4\text{ cm}^2 (eklenen taban) +24 cm2+ 24\text{ cm}^2 (eklenen yanlar) =+24 cm2= +24\text{ cm}^2. Sonuç olarak toplam yüzey alanı 384+24=408 cm2384 + 24 = 408\text{ cm}^2 olur.
Eksilen ve eklenen alanların net farkı başlangıç alanına ilave edilir.

Key Concept

Katı cisimlerde oyma veya parça çıkarma işlemlerinde yüzey alanı değişimi

Hints

1
Küpün başlangıçtaki toplam yüzey alanını 6a26a^2 formülünden hesaplayın.
2
Oyulan parçanın üst yüzeydeki eksilmesi ile oyuk tabanında oluşan yeni yüzeyin alanlarının eşit olduğuna ve birbirini dengelediğine dikkat edin.
3
Net alan artışı, sadece içeri doğru oyulan prizmanın iç yan duvarlarının toplam alanına (4×2×34 \times 2 \times 3) eşittir.

Practice More

Küpün tam köşesinden bir parça çıkarılsaydı yüzey alanının nasıl değişeceğini düşünerek bu konudaki mantığı pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Yüzey alanındaki değişimi doğrudan değişim miktarları üzerinden hesaplayabiliriz: Değişim = (Eklenen Alanlar) - (Eksilen Alanlar). Eklenen alanlar: 1 adet taban (2×2=4 cm22 \times 2 = 4\text{ cm}^2) + 4 adet yan yüzey (4×(2×3)=24 cm24 \times (2 \times 3) = 24\text{ cm}^2) = 28 cm228\text{ cm}^2. Eksilen alanlar: Üst yüzeydeki boşluk (2×2=4 cm22 \times 2 = 4\text{ cm}^2). Net değişim: +28−4=+24 cm2+28 - 4 = +24\text{ cm}^2 (artış). Başlangıç alanı 384 cm2384\text{ cm}^2 olduğundan yeni alan 384+24=408 cm2384 + 24 = 408\text{ cm}^2 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Katı Cisimler

More questions from this topic