Examkin

EBOB - EKOK

3 questions

Question 1Question →

Bir dokuma fabrikasındaki üç farklı makine sırasıyla 34\frac{3}{4} saat, 45\frac{4}{5} saat ve 56\frac{5}{6} saatte bir kumaş dokumaktadır. Bu üç makine aynı anda çalışmaya başladıktan sonra, ilk kez tekrar birlikte yeni bir kumaş dokumaya başladıkları ana kadar geçen sürede toplam kaç adet kumaş dokunmuştur?

Show answer & explanation

Answer: 227

Answer

Makinelerin tekrar birlikte yeni bir kumaş dokumaya başladıkları ana kadar geçen sürede toplam 227 adet kumaş dokunmuştur.
Üç makinenin tekrar birlikte yeni bir kumaş dokumaya başlaması için geçen süre, makinelerin kumaş dokuma sürelerinin en küçük ortak katı (EKOK) olmalıdır. Rasyonel sayıların EKOK formülüne göre payların EKOK'u paydaların EBOB'una bölünür. Buradan en küçük ortak zaman dilimi 60 saat olarak hesaplanır. Bu 60 saatlik sürede birinci makine 80 adet, ikinci makine 75 adet ve üçüncü makine 72 adet kumaş dokur. Toplam dokunan kumaş sayısı ise bunların toplamı olan 227 adettir.

Step-by-Step Solution

1
Makinelerin kumaş dokuma sürelerinin en küçük ortak katını (EKOK) bulmak.
Makinelerin süreleri 34\frac{3}{4}, 45\frac{4}{5} ve 56\frac{5}{6} saattir. Bu rasyonel sayıların en küçük ortak katı:

EKOK(34,45,56)=EKOK(3,4,5)EBOB(4,5,6)=601=60 saat\text{EKOK}\left(\frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}\right) = \frac{\text{EKOK}(3, 4, 5)}{\text{EBOB}(4, 5, 6)} = \frac{60}{1} = 60\text{ saat}

olarak bulunur.
Makinelerin aynı anda tekrar birlikte yeni bir işe başlayabilmesi için geçen sürenin, her birinin üretim periyodunun tam katı olması gerekir.
2
60 saatlik sürede her bir makinenin ürettiği kumaş sayısını hesaplamak.
Birinci makine: 60÷34=60×43=8060 \div \frac{3}{4} = 60 \times \frac{4}{3} = 80 adet kumaş.
İkinci makine: 60÷45=60×54=7560 \div \frac{4}{5} = 60 \times \frac{5}{4} = 75 adet kumaş.
Üçüncü makine: 60÷56=60×65=7260 \div \frac{5}{6} = 60 \times \frac{6}{5} = 72 adet kumaş.
Toplam ortak süreyi her bir makinenin tek bir kumaşı dokuma süresine bölerek o sürede tamamlanan kumaş sayılarını elde ederiz.
3
Makinelerin ürettiği toplam kumaş sayısını hesaplamak.
80+75+72=22780 + 75 + 72 = 227 adet kumaş.
Üç makinenin bu süre zarfında ürettiği toplam kumaş miktarını bulmak için her birinin üretim miktarlarını toplarız.

Key Concept

Rasyonel sayıların EKOK (En Küçük Ortak Kat) hesabı ve periyodik durum problemlerinin çözümü.

Hints

1
Makinelerin tekrar aynı anda yeni bir kumaş dokumaya başlaması için geçen süre, her bir makinenin tek başına kumaş dokuma süresinin ortak bir katı olmalıdır.
2
Kesirli sayıların en küçük ortak katını (EKOK) bulmak için payların EKOK değerini paydaların EBOB değerine bölmelisiniz.

Practice More

Benzer bir mantıkla çalışan ama bu kez dairesel bir pistte farklı hızlardaki üç koşucunun başlangıç noktasında tekrar karşılaşma sürelerini içeren soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Makinelerin 1 saatte ürettikleri kumaş miktarlarını (yani hızlarını) bulup orantı kurabilirsiniz. 1. makine 1 saatte 4/3 kumaş, 2. makine 5/4 kumaş ve 3. makine 6/5 kumaş üretir. Bu üretim miktarlarının tam sayı olması için geçen sürenin her bir hızın paydalarını sadeleştirecek en küçük ortak kat olması gerekir. Paydalar 3, 4 ve 5 olduğundan, süre en az EKOK(3, 4, 5) = 60 saat olmalıdır. Buradan da her bir makinenin 60 saatteki üretimleri hesaplanarak sonuca ulaşılır.
Estimated Time:2m 0s
Question 2Question →

Bir depodaki kutular beşerli gruplandırıldığında 33 kutu, altışarlı gruplandırıldığında 44 kutu, sekizerli gruplandırıldığında ise 66 kutu artmaktadır. Depodaki kutu sayısı 500500'den fazla olduğuna göre, bu depoda en az kaç kutu vardır?

Show answer & explanation

Answer: 598598

Answer

En az 598598 kutu vardır.
Verilen bölme işlemlerine göre depodaki kutu sayısı olan KK değeri K=5a+3=6b+4=8c+6K = 5a + 3 = 6b + 4 = 8c + 6 olarak yazılır. Eşitliğin her tarafına 22 eklendiğinde K+2K + 2 ifadesi 55, 66 ve 88 sayılarının tam katı olur. 55, 66 ve 88 sayılarının en küçük ortak katı EKOK(5,6,8)=120\text{EKOK}(5, 6, 8) = 120 olarak bulunur. K>500K > 500 koşulunu sağlayan en küçük değer için K+2=120×5=600K + 2 = 120 \times 5 = 600 eşitliğinden kutu sayısı en az 598598 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Depodaki kutu sayısını KK olarak belirleyip verilen bölme işlemlerini matematiksel eşitlik olarak ifade etmek.
K=5a+3=6b+4=8c+6K = 5a + 3 = 6b + 4 = 8c + 6 eşitliği elde edilir (burada a,b,ca, b, c pozitif tam sayılardır).
Kutuların gruplandırılmasından elde edilen kalanları g��steren bir denklem kurmak problemin çözümünün ilk adımıdır.
2
Eşitliğin her tarafına 22 ekleyerek katsayıların tam katı olan bir ifade elde etmek.
K+2=5a+5=6b+6=8c+8⇒K+2=5(a+1)=6(b+1)=8(c+1)K + 2 = 5a + 5 = 6b + 6 = 8c + 8 \Rightarrow K + 2 = 5(a + 1) = 6(b + 1) = 8(c + 1) elde edilir.
Kalanlar ile bölenler arasındaki fark sabit (her birinde fark 22) olduğu için, eşitliğe 22 eklemek K+2K + 2 sayısını 55, 66 ve 88 sayılarının ortak katı yapar.
3
55, 66 ve 88 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) hesaplamak.
EKOK(5,6,8)=120\text{EKOK}(5, 6, 8) = 120 olarak bulunur.
K+2K + 2 ifadesi 55, 66 ve 88 sayılarının ortak bir katı olmalıdır. En küçük ortak katı bulmak temel referans değerimizi verir.
4
K+2=120kK + 2 = 120k (burada kk bir tam sayıdır) eşitliğinde K>500K > 500 koşulunu sağlayan en küçük kk değerini belirlemek ve KK sayısını hesaplamak.
k=5k = 5 için K+2=120×5=600⇒K=598K + 2 = 120 \times 5 = 600 \Rightarrow K = 598 bulunur (k=4k = 4 için K=478≤500K = 478 \le 500 olur).
Soruda kutu sayısının 500500'den fazla ve en az olması istendiği için bu koşulu sağlayan en küçük kk katı seçilir.

Key Concept

Eşit kalan farkı içeren durumlarda EKOK kullanarak ortak kat bulma.
Question 3Question →

Bir belediye; uzunluğu 120120 metreden fazla, 150150 metreden az olan düz bir caddenin bir kenarına, caddenin başlangıcında ve bitişinde de birer lamba bulunması koşuluyla eşit aralıklarla sokak lambaları dikecektir. Bu caddedeki ardışık iki lamba arasındaki mesafe metre cinsinden birer tam sayı olup, lambalar 66 metre veya 88 metre aralıklarla dikildiğinde her iki durumda da caddenin bitiş noktasına tam olarak bir lamba denk gelmektedir. Buna göre, bu lambalar 66 metre aralıklarla dikildiğinde kullanılacak lamba sayısı, 88 metre aralıklarla dikildiğinde kullanılacak lamba sayısından kaç fazladır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Lambalar 6 metre aralıklarla dikildiğinde kullanılacak lamba sayısı, 8 metre aralıklarla dikildiğinde kullanılacak lamba sayısından 6 fazladır.
Caddenin uzunluğu hem 66 hem de 88 metrelik aralıklarla tam bölünebildiği için bu iki sayının en küçük ortak katı olan 2424 metrenin katı olmalıdır. Belirtilen 120120 ile 150150 metre aralığında 2424'ün katı olan tek sayı 144144 metredir. Caddenin başına ve sonuna lamba dikildiği için 66 metre aralıkla 2525 lamba, 88 metre aralıkla ise 1919 lamba dikilir. İki durum arasındaki lamba sayısı farkı ise 66 olur.

Step-by-Step Solution

1
Caddenin uzunluğu olan LL değerinin aralı��ını belirleme ve EKOK ilişkisini kurma.
LL değeri 120120 ile 150150 arasındadır (120<L<150120 < L < 150). Lambalar hem 66 metre hem de 88 metre aralıklarla tam olarak yerleştirilebildiği için caddenin uzunluğu hem 66 hem de 88 sayılarının ortak bir katı, yani en küçük ortak katlarının (EKOK) bir katı olmalıdır.
Lambaların başlang��çta ve sonda bulunması ve aralıkların tam sayı olması nedeniyle caddenin uzunluğu, aralıkların ortak katı olmak zorundadır.
2
66 ve 88 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) hesaplama.
EKOK(6,8)=24\text{EKOK}(6, 8) = 24 olarak bulunur.
Caddenin uzunluğunun alabileceği ortak katların temel birimini bulmak için EKOK hesabı yapılır.
3
120<L<150120 < L < 150 koşulunu sağlayan 2424'ün katını bulma.
24×5=12024 \times 5 = 120 (koşula uymaz, 120'den fazla olmalıdır), 24×6=14424 \times 6 = 144 (koşula uyar), 24×7=16824 \times 7 = 168 (koşula uymaz, 150'den az olmalıdır). Dolayısıyla, caddenin uzunluğu L=144L = 144 metredir.
Caddenin uzunluğu verilen sınırlar arasında 2424'ün tam katı olan tek değer olmalıdır.
4
Her iki durum için dikilecek lamba sayılarını hesaplama.
66 metre aralıklarla lamba sayısı: 1446+1=24+1=25\frac{144}{6} + 1 = 24 + 1 = 25 lamba. 88 metre aralıklarla lamba sayısı: 1448+1=18+1=19\frac{144}{8} + 1 = 18 + 1 = 19 lamba.
Lamba yerleştirme problemlerinde başlangıç noktasına da lamba dikildiği için lamba sayısı, aralık sayısından 1 fazla olur.
5
Lamba sayıları arasındaki farkı bulma.
25−19=625 - 19 = 6 bulunur.
İki farklı yerleşim durumundaki lamba miktarları arasındaki farkı bulmak için çıkarma işlemi yapılır.

Key Concept

En Küçük Ortak Kat (EKOK) ve aralık-nokta ilişkisi

Hints

1
Lambaların yerleştirilme aralıkları 66 ve 88 metre olduğuna göre, yolun uzunluğu bu iki sayının ortak bir katı olmalıdır.
2
66 ve 88 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulunuz ve bu katın 120120 ile 150150 arasındaki değerini belirleyiniz.
3
Bulduğunuz yol uzunluğunu sırasıyla 66'ya ve 88'e bölerek aralık sayılarını bulunuz. Hem başlangıca hem de sona lamba dikildiği için lamba sayısının, aralık sayısından 11 fazla olacağını unutmayınız.

Practice More

Benzer şekilde, iki farklı zil veya nöbet probleminde EKOK mantığının nasıl uygulandığını inceleyen soruları çözebilirsiniz.

Alternative Method

Lamba sayıları arasındaki farkı doğrudan oranlar üzerinden de bulabilirsiniz. Yolun uzunluğu L=144L = 144 metre olarak belirlendikten sonra, lamba sayıları farkı (L6+1)−(L8+1)=L6−L8(\frac{L}{6} + 1) - (\frac{L}{8} + 1) = \frac{L}{6} - \frac{L}{8} şeklinde yazılabilir. Buradan payda eşitlenirse 4L−3L24=L24\frac{4L - 3L}{24} = \frac{L}{24} elde edilir. L=144L = 144 değeri yerine yazıldığında fark 14424=6\frac{144}{24} = 6 olarak doğrudan hesaplanır.
Estimated Time:1m 30s