Examkin

Question

Difficulty: HardÜçgende Alan

ABCABC bir üçgen, GG noktası bu üçgenin ağırlık merkezidir. GG noktasından geçen ve [BC][BC] kenarına paralel olan dd doğrusu, [AB][AB] kenarını DD, [AC][AC] kenarını EE noktasında kesmektedir.

ABCABC üçgeninin alanı 72 cm272 \text{ cm}^2 olduğuna göre, DBCEDBCE dörtgeninin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

  1. A
    24
  2. B
    32
  3. 40Answer
  4. D
    48
  5. E
    64

Answer

DBCE dörtgeninin alanı 40 santimetrekaredir.
Ağırlık merkezi kenarortayı 2'ye 1 oranında böler, bu da köşeden tabana doğru benzerlik oranının 2/3 olduğunu gösterir. Alanlar oranı benzerlik oranının karesi (4/9) olduğundan, üstteki küçük üçgenin alanı tüm alanın 4/9'udur. Kalan dörtgenin alanı ise 72 - 32 = 40 cm² olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Ağırlık merkezi özelliğini kullan.
G ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden itibaren 2 birim, kenardan itibaren 1 birim oranında böler. Yani |AG| / |AK| = 2/3'tür (K noktası BC üzerinde kenarortay ayağı ise).
Ağırlık merkezi kenarortayı 2:1 oranında böler.
2
Benzerlik oranını belirle.
DE // BC olduğu için ADE ve ABC üçgenleri benzerdir. Benzerlik oranı k = |AG| / |AK| = 2/3'tür.
Temel orantı teoremi (Thales).
3
Alanlar oranını hesapla.
Alanlar oranı, benzerlik oranının karesine eşittir: (2/3)² = 4/9.
Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesidir.
4
ADE üçgeninin alanını bul.
Alan(ADE) = (4/9) * Alan(ABC) = (4/9) * 72 = 32 cm².
Toplam alanın 4/9'u üstteki küçük üçgene aittir.
5
Dörtgenin alanını bulmak için çıkarma yap.
Alan(DBCE) = Alan(ABC) - Alan(ADE) = 72 - 32 = 40 cm².
Tüm alandan üstteki üçgenin alanı çıkarılarak alttaki dörtgenin alanı bulunur.

Key Concept

Üçgende Benzerlik ve Alan İlişkisi

Hints

1
Ağırlık merkezi (G), bir kenarortayı köşeye olan uzaklığı kenara olan uzaklığının 2 katı olacak şekilde böler.
2
Bu oran (2:1), tabana paralel çizilen doğru sayesinde oluşan küçük üçgen ile büyük üçgen arasındaki benzerlik oranını belirler. Benzerlik oranı 2/3'tür.
3
Benzerlik oranı kk ise, alanlar oranı k2k^2'dir. (23)2\left(\frac{2}{3}\right)^2 oranını kullanarak üstteki üçgenin alanını hesaplayın ve tüm alandan çıkarın.

Practice More

Benzer şekilde, orta taban çizildiğinde alanın nasıl bölündüğünü (S, 3S) inceleyen sorular çözebilirsiniz.

Alternative Method

S2 kuralı: Paralel kesenlerde alanlar, kenar oranlarının kareleri farkı ile orantılıdır (S, 3S, 5S kuralının genel hali). Ancak burada doğrudan k² formülü daha pratiktir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Üçgende Alan

More questions from this topic