Examkin

Question

Difficulty: Very hardÜçgende Alan

Bir ABCABC üçgeninde, D∈[BC]D \in [BC] ve E∈[AC]E \in [AC] noktaları işaretleniyor. Üçgenin kenarları üzerinde,

∣BD∣=3∣DC∣|BD| = 3|DC|
∣AE∣=2∣EC∣|AE| = 2|EC|

eşitlikleri sağlanmaktadır. [AD][AD] ve [BE][BE] doğru parçaları bir FF noktasında kesişmektedir.

AFEAFE üçgeninin alanı 8 cm28 \text{ cm}^2 olduğuna göre, ABCABC üçgeninin alanı kaç  cm2\text{ cm}^2'dir?

  1. A
    44
  2. B
    48
  3. C
    56
  4. 66Answer
  5. E
    72

Answer

ABC üçgeninin alanı 66 cm²'dir.
Menelaus teoremi kullanılarak EF/FBEF/FB oranı 2/92/9 olarak bulunur. AFEAFE üçgeninin alanı 8 ise, aynı yüksekliğe sahip ABFABF üçgeninin alanı taban oranıyla orantılı olarak 36 bulunur. Böylece ABEABE üçgeninin toplam alanı 44 olur. Son olarak, ABEABE ve ABCABC üçgenlerinin yükseklikleri ortaktır ve tabanları oranı 2/32/3'tür. Buradan tüm alan 66 cm² olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Menelaus teoremini uygulamak için uygun üçgeni ve kesen doğruyu belirle.
ADC üçgeni ve B-F-E kesen doğrusu (uzantısı ile) seçilir. Ancak E noktası AC üzerindedir, B noktası DC uzantısındadır. Daha pratik yol: CBE üçgeni ve A-F-D keseni (Menelaus'un dış hali) veya doğrudan alan oranlarını kullanmak.
Kenar oranlarından parça oranlarına (EF/FB) geçmek için Menelaus teoremi gereklidir.
2
CBE üçgeninde A-F-D doğrusu için Menelaus teoremini yaz.
CAAE⋅EFFB⋅BDDC=1\frac{CA}{AE} \cdot \frac{EF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} = 1 formülü kullanılır.
Bu teorem sayesinde F noktasının BE üzerindeki oranı bulunur.
3
Verilen oranları yerine koyarak EF/FB oranını hesapla.
Verilenler: ∣AE∣=2k,∣EC∣=k⇒∣AC∣=3k|AE|=2k, |EC|=k \Rightarrow |AC|=3k. ∣BD∣=3m,∣DC∣=m|BD|=3m, |DC|=m. Denklem: 3k2k⋅EFFB⋅3m1m=1⇒32⋅EFFB⋅3=1⇒EFFB=29\frac{3k}{2k} \cdot \frac{EF}{FB} \cdot \frac{3m}{1m} = 1 \Rightarrow \frac{3}{2} \cdot \frac{EF}{FB} \cdot 3 = 1 \Rightarrow \frac{EF}{FB} = \frac{2}{9}.
Oranların sadeleştirilmesi sonucu bilinmeyen kenar oranı bulunur.
4
Alanlar oranı ile tabanlar oranı ilişkisini kur.
Alan(AFE)Alan(ABF)=EFFB=29\frac{Alan(AFE)}{Alan(ABF)} = \frac{EF}{FB} = \frac{2}{9}. Alan(AFE)=8Alan(AFE)=8 ise Alan(ABF)=92⋅8=36Alan(ABF) = \frac{9}{2} \cdot 8 = 36. Toplam Alan(ABE)=8+36=44Alan(ABE) = 8 + 36 = 44.
Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları tabanları ile orantılıdır.
5
Tüm üçgenin alanına geçiş yap.
Alan(ABE)Alan(ABC)=AEAC=2k3k=23\frac{Alan(ABE)}{Alan(ABC)} = \frac{AE}{AC} = \frac{2k}{3k} = \frac{2}{3}. 44=23⋅Alan(ABC)⇒Alan(ABC)=44⋅32=6644 = \frac{2}{3} \cdot Alan(ABC) \Rightarrow Alan(ABC) = \frac{44 \cdot 3}{2} = 66.
Son adımda yine taban-alan ilişkisi kullanılarak genel alana ulaşılır.

Key Concept

Menelaus Teoremi ve Alan Paylaşımı

Hints

1
İç içe geçmiş üçgenlerde alan oranlarını bulmak için kenar üzerindeki parça oranlarını bilmelisiniz. Menelaus teoremini hatırlayın.
2
CBE üçgenini temel alarak A-F-D doğrusu boyunca Menelaus teoremi uygulayın: CAAE⋅EFFB⋅BDDC=1\frac{CA}{AE} \cdot \frac{EF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} = 1.
3
EF/FBEF/FB oranını bulduktan sonra, önce ABFABF alanını, oradan ABEABE toplam alanını bulun. Son olarak AEAE ve ACAC tabanlarını kıyaslayarak tüm alana geçin.

Practice More

Benzer bir soruyu ağırlık merkezi (kenarortayların kesişimi) özellikleri ile çözmeyi deneyin.

Alternative Method

D noktasından AC kenarına paralel bir doğru çizerek (Tales teoremi ile) F noktasındaki oranı benzerlik yoluyla da bulabilirsiniz.
Estimated Time:4m 0s
Rate this question

Topics

Üçgende Alan

More questions from this topic