E evrensel kümesinin boştan farklı A ve B alt kümeleri veriliyor. K = \left[ (A \setminus B)' \setminus (A' \cap B)' \right]' \neşitliği tanımlanıyor. Buna göre, K kümesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

E evrensel kümesinin boştan farklı A ve B alt kümeleri veriliyor. K = \left[ (A \setminus … — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

$E$ evrensel kümesinin boştan farklı $A$ ve $B$ alt kümeleri veriliyor.

K = \left[ (A \setminus B)' \setminus (A' \cap B)' \right]'

eşitliği tanımlanıyor. Buna göre,

K

kümesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

$A \cup B'$ Answer
B
$B \setminus A$
C
$A' \cup B$
D
$A \cap B'
E
$E$

Answer

İfadenin en sade hali

A \cup B'

kümesidir.

Verilen ifade adım adım sadeleştirildiğinde; önce fark işlemleri kesişim ve tümlemeye çevrilir, ardından De Morgan kuralları uygulanır. İç kısımdaki işlem

(B \setminus A)

sonucunu verir. En dıştaki tümleme işareti ile bu sonuç

(B \setminus A)'

olur, bu da

A \cup B'

ifadesine eşittir.

Step-by-Step Solution

Parantez içindeki ilk ifadeyi (

A \setminus B

) düzenle.

(A \setminus B)' = (A \cap B')' = A' \cup B

(De Morgan kuralı uygulanır).

Fark işlemini kesişim ve tümleme cinsinden yazmak sadeleştirmeyi kolaylaştırır.

Parantez içindeki ikinci ifadeyi (

(A' \cap B)'

) düzenle.

(A' \cap B)' = (A')' \cup B' = A \cup B'

(De Morgan kuralı uygulanır).

Kesişimin tümleyeni, tümleyenlerin birleşimine eşittir.

Köşeli parantez içindeki fark işlemini uygula:

(A' \cup B) \setminus (A \cup B')

(A' \cup B) \cap (A \cup B')' = (A' \cup B) \cap (A' \cap B)

X \setminus Y = X \cap Y'

kuralı uygulanır. İkinci ifadenin tümleyeni alındığında

(A \cup B')' = A' \cap B

elde edilir.

Elde edilen kesişim işlemini sadeleştir.

(A' \cup B) \cap (A' \cap B) = A' \cap B

A' \cap B

kümesi,

A' \cup B

kümesinin bir alt kümesidir (

X \subset Y \Rightarrow X \cap Y = X

). Sonuç

B \setminus A

kümesidir.

En dıştaki tümleme işlemini uygula.

K = (A' \cap B)' = (A')' \cup B' = A \cup B'

Sonuç,

B \setminus A

kümesinin tümleyenidir.

Key Concept

De Morgan Kuralları ve Fark İşlemi Özellikleri

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic