Examkin

Question

Difficulty: HardÜçgende Yardımcı Elemanlar

Dik kenarları [AB][AB] ve [BC][BC] olan bir ABCABC dik üçgeninde, AA köşesine ait iç açıortay doğrusu [BC][BC] kenarını DD noktasında kesmektedir.

∣BD∣=6|BD| = 6 cm ve ∣DC∣=10|DC| = 10 cm olduğuna göre, ABCABC üçgeninin çevresi kaç cm'dir?

  1. A
    36
  2. B
    42
  3. 48Answer
  4. D
    60
  5. E
    96

Answer

48
İç açıortay teoremine göre kenarların oranı, açıortayın tabanda ayırdığı parçaların oranına eşittir (3/53/5). Dik kenar 16 cm olduğu için, 3k-16-5k dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanarak k=4 bulunur. Kenarlar 12, 16 ve 20 cm olur. Toplam çevre 48 cm'dir.

Step-by-Step Solution

1
Verilenleri analiz et
ABCABC bir dik üçgen, [AB]⊥[BC][AB] \perp [BC]. ∣BD∣=6|BD| = 6, ∣DC∣=10|DC| = 10. Toplam ∣BC∣=16|BC| = 16 cm.
Sorudaki geometrik yapıyı ve uzunlukları belirlemek için.
2
İç Açıortay Teoremini uygula
∣AB∣∣AC∣=∣BD∣∣DC∣=610=35\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}. Buradan ∣AB∣=3k|AB| = 3k ve ∣AC∣=5k|AC| = 5k diyebiliriz.
Açıortayın kenarları, ayırdığı parçalarla orantılı böldüğü kuralını kullanmak için.
3
Pisagor Bağıntısını kullanarak k değerini bul
(3k)2+162=(5k)2⇒9k2+256=25k2⇒16k2=256⇒k2=16⇒k=4(3k)^2 + 16^2 = (5k)^2 \Rightarrow 9k^2 + 256 = 25k^2 \Rightarrow 16k^2 = 256 \Rightarrow k^2 = 16 \Rightarrow k = 4.
Bilinmeyen kenar uzunluklarını hesaplamak için dik üçgen özelliğini kullanmak.
4
Kenar uzunluklarını ve çevreyi hesapla
∣AB∣=3(4)=12|AB| = 3(4) = 12, ∣AC∣=5(4)=20|AC| = 5(4) = 20. Çevre = 12+16+20=4812 + 16 + 20 = 48 cm.
Sonucu bulmak için.

Key Concept

İç Açıortay Teoremi ve Pisagor Bağıntısı

Hints

1
Önce İç Açıortay Teoremini kullanarak ∣AB∣|AB| ve ∣AC∣|AC| kenarları arasındaki oranı belirleyin.
2
Kenarlar arasındaki orana göre ∣AB∣=3k|AB| = 3k ve ∣AC∣=5k|AC| = 5k diyebilirsiniz. ∣BC∣|BC| uzunluğu bellidir.
3
ABCABC üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayın: (3k)2+162=(5k)2(3k)^2 + 16^2 = (5k)^2. Buradan k değerini bulun.

Practice More

Benzer bir soruyu Dış Açıortay Teoremi kullanarak çözmeyi deneyin.

Alternative Method

3k-16-5k kenarlarına sahip dik üçgenin, 3-4-5 üçgeninin bir katı olduğunu fark ederseniz; 4 birimlik kenarın 16'ya karşılık geldiğini görüp doğrudan ölçek katsayısının (k) 4 olduğunu bulabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Üçgende Yardımcı Elemanlar

More questions from this topic