Üçgende Yardımcı Elemanlar Practice Questions — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Question 1Question →

Bir ABC dik üçgeninde $[AB] \perp [BC]$ 'dir. A köşesine ait iç açıortay, $[BC]$ kenarını D noktasında kesmektedir. $|BD| = 3$ cm ve $|DC| = 5$ cm olduğuna göre, ABC üçgeninin alanı kaç cm²'dir?

12

15

24

30

48

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Doğru cevap, ABC üçgeninin alanının 24 cm² olduğunu gösteren seçenektir.

Soruda verilen açıortay bilgisi kullanılarak kenarlar arasında 3/5 oranı kurulur. Pisagor bağıntısı yardımıyla kenar uzunlukları 6-8-10 üçgenini sağlar. Dik üçgenin alanı dik kenarların çarpımının yarısı olduğundan (6*8)/2 işlemi ile doğru sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Verilenleri şekil üzerinde tanımla ve iç açıortay teoremini uygula.

Açıortay teoremine göre

\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{3}{5}

olur.

Bir üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranına göre böler.

2

Kenar uzunluklarını orantı sabiti (k) cinsinden ifade et.

|AB| = 3k

ve

|AC| = 5k

olarak belirlenir.

Oranı bilinen kenarların gerçek uzunluklarını bulmak için ortak bir çarpan kullanılır.

3

ABC üçgeninde Pisagor bağıntısını uygula.

(3k)^2 + (3+5)^2 = (5k)^2 \Rightarrow 9k^2 + 64 = 25k^2

.

Üçgen dik üçgen olduğu için (

[AB] \perp [BC]

) dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

4

Denklemi çözerek k değerini ve üçgenin yüksekliğini bul.

16k^2 = 64 \Rightarrow k^2 = 4 \Rightarrow k=2

. Buradan

|AB| = 3k = 6

cm bulunur.

Alan hesabı için üçgenin dik kenar uzunluklarına ihtiyaç vardır.

5

ABC üçgeninin alanını hesapla.

Alan =

\frac{|AB| \cdot |BC|}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24

cm².

Dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısıdır.

Key Concept

İç Açıortay Teoremi ve Pisagor Bağıntısı

Hints

1

İç açıortay teoremini hatırlayın: Açıortayın böldüğü parçaların oranı, o parçalara komşu olan kenarların oranına eşittir.

2

|AB| = 3k

ve

|AC| = 5k

diyerek üçgenin kenarlarını isimlendirin ve Pisagor bağıntısını kullanarak k değerini bulmaya çalışın.

3

Üçgenin dik kenarları

3k

ve

8

'dir. Hipotenüs ise

5k

'dır.

(3k)^2 + 8^2 = (5k)^2

denklemini çözün.

Practice More

Benzer şekilde dış açıortay teoremi içeren bir alan sorusu çözülmesi önerilir.

Alternative Method

Oranları fark ettikten sonra bu üçgenin, kenarları 2 ile genişletilmiş bir 3-4-5 üçgeni (yani 6-8-10 üçgeni) olduğunu doğrudan görebilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 2Question →

Bir $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde belirlenen bir $G$ noktası; $[AD]$ , $[BE]$ ve $[CF]$ doğru parçalarının kesim noktasıdır. Bu doğru parçaları ile ilgili olarak $2|GD| = |AG|$ , $2|GE| = |BG|$ ve $2|GF| = |CG|$ oranlarının sağlandığı biliniyor. Buna göre, $G$ noktası ve bu doğru parçaları hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

G

noktası üçgenin diklik merkezidir ve doğru parçaları yüksekliklerdir.

G

noktası üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir ve doğru parçaları açıortaylardır.

G

noktası üçgenin ağırlık merkezidir ve doğru parçaları kenarortaylardır.

G

noktası üçgenin çevrel çemberinin merkezidir ve doğru parçaları kenar orta dikmelerdir.

Bu doğru parçaları sadece eşkenar üçgenlerde bu özelliği sağlar.

Show answer & explanation

Answer: $G$ noktası üçgenin ağırlık merkezidir ve doğru parçaları kenarortaylardır.

Answer

Verilen oranlar ağırlık merkezinin temel özelliğidir; bu nedenle G noktası ağırlık merkezi, doğru parçaları ise kenarortaylardır.

Üçgende kenarortayların kesiştiği nokta ağırlık merkezidir. Ağırlık merkezinin en temel özelliği, üzerinde bulunduğu kenarortayı kenara yakın kısımdan 1 birim, köşeye yakın kısımdan 2 birim olacak şekilde parçalamasıdır. Soruda verilen

2|GD| = |AG|

gibi eşitlikler tam olarak bu

1:2

oranını ifade etmektedir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen oranları analiz edin.

|AG| = 2|GD|

,

|BG| = 2|GE|

ve

|CG| = 2|GF|

olduğu görülmektedir.

Bu oranlar, bir doğru parçasının kesim noktası tarafından köşeye olan uzaklığının, kenara olan uzaklığının iki katı olduğunu gösterir.

2

Üçgende yardımcı elemanların özelliklerini hatırlayın.

Kenarortayların kesim noktası (ağırlık merkezi), her bir kenarortayı

1:2

oranında böler.

Ağırlık merkezi (

G

), kenara 1 birim (

k

), köşeye 2 birim (

2k

) uzaklıktadır.

3

Sonucu belirleyin.

G

noktası ağırlık merkezidir,

[AD]

,

[BE]

ve

[CF]

ise kenarortaylardır.

Tanım gereği, bu özel oran sadece kenarortaylar ve onların kesim noktası için her zaman geçerlidir.

Key Concept

Üçgende ağırlık merkezi, kenarortayları kenardan 1 birim, köşeden 2 birim uzaklıkta olacak şekilde (1:2 oranında) böler.

Hints

1

Üçgende köşeden gelen parçanın kenara giden parçanın iki katı olduğu özel noktayı hatırlayın.

2

Bu özellik 'Ağırlık Merkezi' (

G

) olarak bilinen nokta için tanımlanmıştır.

3

Ağırlık merkezi, kenarı iki eş parçaya bölen 'kenarortay'ların kesişim noktasıdır.

Practice More

İkizkenar ve eşkenar üçgenlerde bu yardımcı elemanların hangilerinin çakıştığını inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 15s

Question 3Question →

Şekildeki $ABC$ üçgeninde $[AI]$ , $[BI]$ ve $[CI]$ doğru parçaları sırasıyla $A$ , $B$ ve $C$ köşelerindeki iç açıları iki eş parçaya bölmektedir. Bu açıortayların kesişim noktası olan ** $I$ noktası** aşağıdakilerden hangisi olarak adlandırılır?

Üçgenin iç teğet çemberinin merkezi

Üçgenin ağırlık merkezi

Üçgenin diklik merkezi

Üçgenin çevrel çemberinin merkezi

Üçgenin dış teğet çemberinin merkezi

Show answer & explanation

Answer: Üçgenin iç teğet çemberinin merkezi

Answer

Üçgenin iç teğet çemberinin merkezi

Üçgende iç açıortayların (açıyı ikiye bölen doğruların) kesiştiği nokta, üçgenin tüm kenarlarına eşit uzaklıktadır ve bu nokta üçgenin iç teğet çemberinin merkezi olarak tanımlanır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen yardımcı elemanları tanımlama

Soruda

[AI]

,

[BI]

ve

[CI]

doğru parçalarının açıları iki eş parçaya böldüğü belirtilmiştir. Bu durum, bu parçaların 'iç açıortay' olduğunu gösterir.

Açıortay, bir açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçasıdır.

2

Kesişim noktasının özelliğini belirleme

Üçgende üç iç açıortay tek bir noktada kesişir. Bu özel noktaya 'iç teğet çemberin merkezi' denir.

Geometrik tanım gereği iç açıortayların kesim noktası bu şekilde adlandırılır.

Key Concept

İç Açıortay ve İç Teğet Çemberin Merkezi

Hints

1

Şekildeki

[AI]

,

[BI]

ve

[CI]

doğru parçalarının köşelerdeki açıları nasıl böldüğüne dikkat edin.

2

Bir açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçasına 'açıortay' denir. Soruda üç iç açıortayın kesişimi sorulmaktadır.

3

Üçgende iç açıortayların kesiştiği nokta, üçgenin kenarlarına teğet olan iç teğet çemberin merkezidir.

Practice More

Kenarortayların kesişim noktası olan ağırlık merkezinin özelliklerini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 4Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $A$ köşesine ait dış açıortay, $[BC]$ kenarının uzantısını $D$ noktasında kesmektedir.

$|AB| = 6$ cm, $|AC| = 4$ cm ve $|BC| = 5$ cm olduğuna göre, $|CD|$ uzunluğu kaç cm'dir?

8

10

12

15

20

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Dış açıortay teoremi uygulandığında

|CD|

uzunluğu

10

cm olarak hesaplanır.

Dış açıortay teoremine göre,

|AC|/|AB| = |CD|/|BD|

bağıntısı geçerlidir. Verilen

|AB|=6

,

|AC|=4

ve

|BC|=5

değerleri yerleştirildiğinde

4/6 = x/(x+5)

denklemi elde edilir. Bu denklemin çözümü

2x=20

üzerinden

x=10

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Dış açıortay teoremi formülünü belirlemek

\frac{|AC|}{|AB|} = \frac{|CD|}{|BD|}

Üçgende dış açıortay teoremi, açıortayın karşı kenar uzantısını kestiği noktanın köşelere olan uzaklıkları oranının, komşu kenarların oranına eşit olduğunu belirtir.

2

Verilen değerleri değişkenler cinsinden yazmak

|CD| = x

olsun. Bu durumda

|BD| = |BC| + |CD| = 5 + x

olur.

D

noktası

[BC]

uzantısı üzerinde olduğu için

B, C, D

noktaları doğrusaldır ve

|BD|

toplam uzunluğu verir.

3

Orantıyı kurup denklemi çözmek

\frac{4}{6} = \frac{x}{5+x} \Rightarrow 4(5+x) = 6x \Rightarrow 20 + 4x = 6x \Rightarrow 2x = 20 \Rightarrow x = 10

İçler dışlar çarpımı yapılarak bilinmeyen

x

değeri hesaplanır.

Key Concept

Dış Açıortay Teoremi

Hints

1

Dış açıortay teoremini hatırlayın: Açıortayın kestiği noktanın köşelere olan uzaklıkları oranını kurun.

2

|CD| = x

dersek,

|BD|

uzunluğunun

5 + x

olacağını unutmayın.

3

4/6 = x/(5+x)

orantısını kullanarak içler dışlar çarpımı yapın.

Practice More

İç ve dış açıortayın aynı soruda birleştiği 'iç açıortay ile dış açıortay arasındaki açının 90 derece olması' özelliğini içeren soruları çözebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 5Question →

Bir $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezi $G$ noktasıdır. Üçgenin iç bölgesindeki $[AG]$ ve $[BG]$ doğru parçaları birbirine diktir.

$|AG| = 9$ cm ve $|BG| = 12$ cm olduğuna göre, $G$ noktasının $C$ köşesine olan uzaklığı ( $|GC|$ ) kaç santimetredir?

7,5

10

12,5

15

22,5

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

15 santimetredir.

Soru, ağırlık merkezi (kenarortayların kesim noktası) ve dik üçgen özelliklerinin birleştirilmesini gerektirir. İlk olarak,

AG

ve

BG

birbirine dik olduğu için

AGB

üçgeni bir dik üçgendir. Pisagor bağıntısından

AB

kenarı 15 cm bulunur.

C

köşesinden çizilen ve

G

'den geçen doğru parçası

[AB]

kenarını ortalar (kenarortay). Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısıdır (Muhteşem Üçlü), bu nedenle

G

noktasından

AB

'ye olan mesafe (

GK

) 7,5 cm'dir. Ağırlık merkezi kuralı gereği, köşeye olan uzaklık (

GC

), kenara olan uzaklığın (

GK

) 2 katıdır. Sonuç:

2 \times 7,5 = 15

cm.

Step-by-Step Solution

1

AGB

üçgenini incele.

[AG] \perp [BG]

verildiğinden

AGB

bir dik üçgendir. Pisagor bağıntısı ile hipotenüs

[AB]

bulunur:

|AB|^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \Rightarrow |AB| = 15

cm.

Dik kesişen kenarortay parçaları bir dik üçgen oluşturur.

2

C

köşesinden gelen kenarortayı çiz ve uzantısını isimlendir.

C

köşesinden geçen kenarortay

G

noktasından geçer ve

[AB]

kenarını bir

K

noktasında keser.

CK

,

ABC

üçgeninin kenarortayıdır.

Ağırlık merkezi tüm kenarortayların kesişim noktasıdır.

3

AGB

dik üçgeninde

GK

kenarortay uzunluğunu hesapla.

K

noktası hipotenüsün (

[AB]

) orta noktasıdır. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem Üçlü kuralı).

|GK| = |AB| / 2 = 15 / 2 = 7,5

cm.

Muhteşem üçlü özelliği: Bir dik üçgende hipotenüse inilen kenarortay, ayırdığı parçalara eşittir.

4

Ağırlık merkezi oranını kullanarak

|GC|

uzunluğunu bul.

Ağırlık merkezi kenarortayı 1'e 2 oranında böler (köşeye olan uzaklık, kenara olan uzaklığın 2 katıdır).

|GC| = 2 \cdot |GK| = 2 \cdot 7,5 = 15

cm.

Kenarortay özelliği:

|GC| = 2|GK|

.

Key Concept

Dik kesişen kenarortaylar ve muhteşem üçlü özelliği

Hints

1

AGB

üçgeni bir dik üçgendir. Öncelikle

[AB]

kenarının uzunluğunu Pisagor bağıntısı ile hesaplayın.

2

C

köşesinden gelip

G

'den geçen doğruyu uzatın. Bu doğru

[AB]

kenarını ortalar (kenarortay). Dik üçgende hipotenüse inen kenarortayın özelliğini hatırlayın.

3

Dik üçgende hipotenüse inen kenarortay, ayırdığı parçalara eşittir (

|GK| = |AB|/2

). Son olarak ağırlık merkezi kuralını (

|GC| = 2|GK|

) kullanın.

Practice More

Benzer bir soruda,

|AB|

ve

|GC|

verilip

|AG|

uzunluğunun sorulduğu tersine işlem problemlerini çözün.

Estimated Time:2m 0s

Question 6Question →

Şekildeki $ABC$ üçgeninde $[AN]$ doğru parçası çizilmiştir. $m(\widehat{BAN}) = m(\widehat{CAN})$ olduğu bilindiğine göre, $[AN]$ doğru parçasına ne ad verilir?

Açıortay

Kenarortay

Yükseklik

Kenar orta dikme

Hipotenüs

Show answer & explanation

Answer: Açıortay

Answer

Verilen

[AN]

doğru parçası, açıyı iki eş parçaya böldüğü için açıortaydır.

Doğru cevap olan seçenek, bir açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçasının tanımını temsil eder. Soruda verilen matematiksel eşitlik,

A

açısının tam ortadan ikiye ayrıldığını ifade etmektedir.

Step-by-Step Solution

1

Soruda verilen matematiksel ifadeyi analiz et.

m(\widehat{BAN}) = m(\widehat{CAN})

ifadesi,

A

açısının iki eşit parçaya ayrıldığını gösterir.

Geometrik sembollerin anlamını belirlemek çözümün ilk adımıdır.

2

Üçgende yardımcı elemanların tanımlarını hatırla.

Bir açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçasına açıortay denir.

Tanım gereği bu özellik açıortayı tanımlar.

3

Sonucu belirle.

[AN]

doğru parçası

A

açısına ait bir açıortaydır.

Verilen özellikler sadece açıortay tanımına uymaktadır.

Key Concept

Açıortay Tanımı

Hints

1

m(\widehat{BAN}) = m(\widehat{CAN})

ifadesinin ne anlama geldiğine odaklanın.

2

Bu ifade,

A

köşesindeki açının

[AN]

doğrusu tarafından iki eşit parçaya bölündüğünü anlatır.

3

Üçgende 'açıyı bölen' yardımcı elemanın adı nedir? İpucu isminde gizli: 'açı' ve 'ortalamak'.

Practice More

İç açıortayların kesişim noktasının 'iç teğet çemberin merkezi' olduğunu öğrenerek konuyu derinleştirebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 7Question →

Bir $ABC$ üçgeninde, $A$ köşesine ait iç açıortay doğrusu $[AN]$ ile $AC$ kenarına ait kenarortay doğrusu $[BM]$ birbirine diktir.

$|AB| = 6$ cm ve $ABC$ üçgeninin çevresi $28$ cm olduğuna göre, $|BC|$ kaç cm'dir?

8

10

12

14

16

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

10

Soruda verilen kritik bilgi,

A

açısına ait açıortayın (

AN

),

AC

kenarına ait kenarortaya (

BM

) dik olmasıdır. Geometride 'Yaki' kuralı (Yükseklik, Açıortay, Kenarortay, İkizkenar) gereği, bir doğru parçası hem açıortay hem de yükseklik görevi görüyorsa, o üçgen ikizkenardır. Burada

ABM

üçgeninde

AK

doğrusu hem açıortay hem de yükseklik olduğundan

|AB| = |AM|

olur.

BM

kenarortay olduğu için

|AM|=|MC|

'dir. Dolayısıyla

|AC| = 2|AB| = 12

cm bulunur. Çevre

28

cm olduğundan,

|BC| = 28 - (6+12) = 10

cm'dir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen geometrik ilişkiyi analiz et.

A

köşesinden çizilen iç açıortay

[AN]

,

AC

kenarına ait

[BM]

kenarortayına diktir. Bu durum özel bir ikizkenar üçgen yapısı oluşturur.

Açıortayın aynı zamanda yükseklik olması, o üçgenin ikizkenar olduğunu gösterir.

2

Kesişim noktasını tanımla ve ikizkenar üçgeni belirle.

[AN]

ve

[BM]

doğrularının kesişim noktasına

K

diyelim.

\triangle ABK

ve

\triangle AMK

üçgenlerinde

AK

hem açıortay hem de yüksekliktir. Bu durumda

\triangle ABM

ikizkenar üçgen olur ve

|AB| = |AM|

eşitliği sağlanır.

Bir üçgende açıortay aynı zamanda yükseklik ise, o üçgen ikizkenardır.

3

AC

kenar uzunluğunu

AB

cinsinden ifade et.

[BM]

kenarortay olduğu için

|AM| = |MC|

'dir.

|AB| = |AM|

olduğundan,

|AC| = |AM| + |MC| = |AB| + |AB| = 2|AB|

olur.

Kenarortay kenarı iki eş parçaya böler.

4

Verilenleri kullanarak denklemi kur ve çöz.

|AB| = 6

cm ise,

|AC| = 2 \cdot 6 = 12

cm olur. Çevre

= |AB| + |AC| + |BC| = 28

cm.

6 + 12 + |BC| = 28 \Rightarrow 18 + |BC| = 28 \Rightarrow |BC| = 10

cm.

Üçgenin çevresi tüm kenar uzunluklarının toplamıdır.

Key Concept

Bir üçgende açıortay doğrusu ile kenarortay doğrusu dik kesişiyorsa, bu doğruların oluşturduğu alt üçgen ikizkenardır ve esas üçgenin kenarları arasında

1:2

oranı vardır.

Hints

1

Bir üçgende açıortay aynı zamanda yükseklik ise, bu üçgenin kenarları hakkında ne söylenebilir? İkizkenar üçgen özelliklerini hatırlayın.

2

AN

ve

BM

doğrularının kesişim noktasına odaklanın.

ABM

üçgeninde açıortayın tabana dik inmesi,

|AB|

ve

|AM|

kenarları arasında bir eşitlik olduğunu gösterir.

3

|AB| = |AM|

eşitliğini ve

M

noktasının

AC

kenarını ikiye böldüğünü (

|AM|=|MC|

) kullanın. Bu,

|AC|

'nin

|AB|

'nin iki katı olduğu anlamına gelir.

Practice More

Aynı kuralın dış açıortay ile olan versiyonunu içeren sorular çözülebilir.

Alternative Method

İç açıortay teoremi kullanılarak da çözülebilir, ancak

1:2

oranı bulunduğu için en pratik yol 'Yaki' kuralıdır.

Estimated Time:3m 0s

Question 8Question →

Bir $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezi $G$ noktasıdır. $G$ noktasından geçen ve $[BC]$ kenarına paralel olan doğru parçası, üçgenin $[AB]$ kenarını $D$ , $[AC]$ kenarını ise $E$ noktasında kesmektedir.

$|DE| = 12$ cm olduğuna göre, $|BC|$ uzunluğu kaç santimetredir?

16

18

24

27

36

Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

18 cm

Üçgenin ağırlık merkezi (

G

), kenarortayı köşeden itibaren 2'ye 1 oranında böler.

DE // BC

olduğu için Temel Benzerlik Teoremi uygulanır. Benzerlik oranı, köşeden ağırlık merkezine olan uzaklığın tüm kenarortay uzunluğuna oranına eşittir:

2/3

. Buna göre

|DE|/|BC| = 2/3

eşitliğinden

12/|BC| = 2/3

bulunur ve

|BC| = 18

cm çıkar.

Step-by-Step Solution

1

Ağırlık merkezi özelliğini hatırla

A köşesinden çizilen kenarortay

G

noktasından geçer.

|AG| = 2k

ve

|GK'| = k

(tabana olan uzaklık) oranını sağlar.

Ağırlık merkezi, kenarortayı köşeye 2 birim, kenara 1 birim olacak şekilde böler.

2

Benzerlik oranını kur

ADE

üçgeni ile

ABC

üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı

\frac{|AG|}{|AK'|} = \frac{2k}{3k} = \frac{2}{3}

'tür.

Paralel doğrular temel benzerlik teoremini (Thales) oluşturur.

3

Orantıyı çöz

\frac{|DE|}{|BC|} = \frac{2}{3} \implies \frac{12}{|BC|} = \frac{2}{3} \implies 2|BC| = 36 \implies |BC| = 18

cm.

Üçgenlerin taban uzunlukları benzerlik oranıyla orantılıdır.

Key Concept

Ağırlık Merkezi ve Benzerlik İlişkisi

Hints

1

Ağırlık merkezi, kenarortayı hangi oranda böler?

2

A köşesinden

G

noktasından geçen bir doğru (kenarortay) çizdiğinizde, oluşan küçük üçgenin büyük üçgene benzerlik oranı 2/3 olur.

3

\frac{|AG|}{|AK|} = \frac{2}{3}

oranını kullanarak

\frac{|DE|}{|BC|}

eşitliğini kurunuz.

Practice More

Benzer kurguda alan oranının sorulduğu soruları inceleyiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 9Question →

Bir $ABC$ üçgeninde, köşeleri karşı kenarların orta noktalarıyla birleştiren doğru parçalarının (kenarortayların) tamamı üçgenin içinde bir noktada kesişir.

Buna göre, kenarortayların kesiştiği bu nokta aşağıdakilerden hangisidir?

Ağırlık Merkezi

İç Teğet Çemberin Merkezi

Diklik Merkezi

Çevrel Çemberin Merkezi

Dış Teğet Çemberin Merkezi

Show answer & explanation

Answer: Ağırlık Merkezi

Answer

Kenarortayların kesişim noktası ağırlık merkezidir.

Üçgende köşeleri karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğrular kenarortaydır. Tanım gereği, bir üçgendeki tüm kenarortayların kesiştiği noktaya ağırlık merkezi denir.

Step-by-Step Solution

1

Yardımcı elemanın tanımını yapın.

Üçgenin bir köşesini karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir.

Soruda bahsedilen doğru parçalarının ne olduğunu tanımlamak için.

2

Kesişim noktasının ismini belirleyin.

Bir üçgende üç kenarortay tek bir noktada kesişir ve bu noktaya ağırlık merkezi (

G

) adı verilir.

Geometrik tanım gereği kenarortayların buluştuğu nokta ağırlık merkezidir.

Key Concept

Üçgende kenarortayların kesişim noktası ağırlık merkezidir.

Hints

1

Köşeyi karşı kenarın ortasına birleştiren çizginin adına odaklanın.

2

Bu çizgi kenarı ikiye böldüğü için 'kenar-ortay' olarak isimlendirilir.

3

Kenarortayların kesiştiği nokta, üçgenin denge noktası olan ağırlık merkezidir.

Practice More

Ağırlık merkezinin kenarortayı 1'e 2 oranında (

1k

ve

2k

) böldüğü özelliğini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:30s

Question 10Question →

Dik kenar uzunlukları $6$ cm ve $8$ cm olan bir dik üçgenin ağırlık merkezi $G$ , iç teğet çemberinin merkezi ise $I$ noktasıdır. Buna göre, $G$ ve $I$ noktaları arasındaki uzaklık ( $|GI|$ ) kaç cm'dir?

\frac{1}{2}

\frac{2}{3}

1

\frac{4}{3}

\frac{5}{3}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{2}{3}$

Answer

İki nokta arasındaki uzaklık

\frac{2}{3}

cm'dir.

Dik kenarları

6

ve

8

olan dik üçgende, dik köşeyi orijine

(0,0)

yerleştirdiğimizde, iç teğet çemberin merkezi

I(2,2)

ve ağırlık merkezi

G(2, 8/3)

koordinatlarında bulunur. Her iki noktanın da apsisi

2

olduğundan, aralarındaki uzaklık sadece ordinatlar farkıdır:

8/3 - 2 = 2/3

.

Step-by-Step Solution

1

Üçgenin hipotenüs uzunluğunu hesapla.

6-8-10

özel üçgeninden hipotenüs

10

cm'dir.

Üçgenin tüm kenar uzunluklarını bilmek, merkezlerin konumlarını belirlemek için gereklidir.

2

Üçgeni koordinat düzlemine yerleştirerek köşeleri belirle.

Dik köşe

A(0,0)

, diğer köşeler

B(6,0)

ve

C(0,8)

olsun.

Analitik düzlem,

G

ve

I

noktalarının koordinatlarını bulmayı kolaylaştırır.

3

İç teğet çemberin merkezinin (

I

) koordinatlarını bul.

Dik üçgende iç teğet çemberin yarıçapı

r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{6+8-10}{2} = 2

olduğundan,

I(2,2)

noktasıdır.

Merkez, dik kenarlara

r

uzaklıktadır.

4

Ağırlık merkezinin (

G

) koordinatlarını bul.

G(\frac{0+6+0}{3}, \frac{0+0+8}{3}) = G(2, \frac{8}{3})

.

Ağırlık merkezi koordinatları, köşe koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.

5

G

ve

I

noktaları arasındaki uzaklığı hesapla.

Apsisler aynı (

x=2

) olduğu için uzaklık ordinatlar farkıdır:

|\frac{8}{3} - 2| = |\frac{8}{3} - \frac{6}{3}| = \frac{2}{3}

.

İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanır.

Key Concept

Üçgende Merkezlerin Konumu ve Analitik İnceleme

Hints

1

Üçgeni analitik düzleme yerleştirerek dik köşeyi orijin

(0,0)

kabul ederseniz çözüm kolaylaşır.

2

Dik üçgende iç teğet çemberin yarıçapı

r = \frac{\text{dik kenarlar toplamı} - \text{hipotenüs}}{2}

formülüyle bulunabilir.

3

Ağırlık merkezi koordinatları köşe noktalarının ortalamasıdır.

I

ve

G

noktalarının apsislerini (x değerlerini) karşılaştırın.

Practice More

3-4-5 üçgeninde iç merkez ile çevrel çember merkezi arasındaki uzaklığı soran bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Koordinat sistemi kullanmadan: Ağırlık merkezi

AC

kenarına

AB/3 = 2

birim uzaklıktadır. İç merkez

AC

kenarına

r=2

birim uzaklıktadır. Yani

AC

'ye uzaklıkları eşittir (aynı dikey hizadadırlar).

AB

'ye uzaklıkları farkı ise

r - (AC/3)

yani

|2 - 8/3|

olur.

Estimated Time:4m 0s

Question 11Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $G$ ağırlık merkezi ve $[AD]$ kenarortaydır. $B$ açısına ait iç açıortay doğrusu, $[AG]$ doğru parçasının orta noktasından geçmektedir. Buna göre, $\frac{|AB|}{|BC|}$ oranı kaçtır?

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{1}{4}

\frac{2}{3}

\frac{3}{4}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{4}$

Answer

\frac{1}{4}

Doğru yanıt olan

\frac{1}{4}

değerine ulaşmak için önce ağırlık merkezinin

[AD]

kenarortayını

|AG|=2|GD|

şeklinde böldüğü, ardından

[AG]

'nin orta noktası

M

ile birlikte

|AM|=|MG|=|GD|=k

eşitliğinin sağlandığı görülmelidir.

ABD

üçgeninde

[BM]

açıortay olduğundan iç açıortay teoremi gereği

|AB|/|BD| = |AM|/|MD| = k/2k = 1/2

olur.

|BC|=2|BD|

olduğu için

|AB|/|BC| = 1/4

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Ağırlık merkezi özelliğini belirleme

|AG| = 2|GD|

Üçgende ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden kenara doğru

2:1

oranında böler.

2

AG

parçasının orta noktasını (

M

) kullanma

|AM| = |MG| = k

ise

|GD| = k

olur.

|AG| = 2k

olduğunda, orta nokta bu parçayı

k, k

şeklinde böler. Ağırlık merkezi kuralından

|GD|

de

k

olur.

3

ABD

üçgeninde iç açıortay teoremini uygulama

\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{|AM|}{|MD|} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}

B

açısının açıortayı

[AD]

kenarını

M

noktasında kestiği için kenarların oranı ayırdığı parçaların oranına eşittir. Burada

|MD| = |MG| + |GD| = 2k

dır.

4

Kenarortay özelliğini kullanarak nihai oranı bulma

\frac{|AB|}{|BC|} = \frac{1}{4}

|AD|

kenarortay olduğundan

|BC| = 2|BD|

dir.

\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{1}{2}

ise

\frac{|AB|}{2|BD|} = \frac{1}{4}

bulunur.

Key Concept

Ağırlık merkezi (1:2 oranı) ve iç açıortay teoreminin birlikte kullanımı

Estimated Time:2m 30s

Question 12Question →

Bir mimar, üçgen şeklindeki bir arazinin $A$ köşesinden başlayarak araziyi iki bölgeye ayıracak düz bir çit örmek istiyor. Mimarın belirlediği plana göre, çit üzerindeki her bir noktanın arazinin $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarına (sınırlarına) olan dik uzaklıkları birbirine eşit olacaktır.

Buna göre mimarın inşa edeceği bu çit, $ABC$ üçgeninin hangi yardımcı elemanı üzerinde yer almalıdır?

[BC]

kenarına ait kenarortay

A

açısına ait iç açıortay

[BC]

kenarına ait yükseklik

[BC]

kenarının orta dikmesi

[AB]

kenarına ait yükseklik

Show answer & explanation

Answer: $A$ açısına ait iç açıortay

Answer

Mimarın inşa edeceği çit,

A

açısına ait iç açıortay üzerinde yer almalıdır.

İç açıortay, bir açıyı iki eş açıya bölen doğru parçasıdır. Geometrik bir özellik olarak, açıortay doğrusu üzerindeki herhangi bir noktadan açının kollarına (üçgenin yan kenarlarına) çizilen dikmelerin uzunlukları her zaman birbirine eşittir. Bu nedenle, çit üzerindeki her noktanın kenarlara uzaklığının eşit olması ancak bu çitin açıortay üzerinde olmasıyla mümkündür.

Step-by-Step Solution

1

Verilen 'kenarlara eşit dik uzaklık' şartının geometrik karşılığını belirlemek.

Çit üzerindeki bir

P

noktasının

[AB]

kenarına uzaklığı (

h_1

) ile

[AC]

kenarına uzaklığı (

h_2

) için

h_1 = h_2

olmalıdır.

Soruda her noktanın iki kenara olan dik uzaklıklarının eşitliği şart koşulmuştur.

2

Açıortay tanımını ve temel özelliğini hatırlamak.

Bir açıyı iki eş parçaya bölen doğru üzerindeki her nokta, açının kollarından eşit uzaklıktadır.

Bu özellik açıortay teoreminin temelini oluşturur ve geometrik yer olarak açıortayı tanımlar.

3

Sonucu üçgenin yardımcı elemanıyla eşleştirmek.

A

köşesinden başlayıp bu özelliği sağlayan doğru parçası,

A

açısının iç açıortayıdır.

Çit

A

köşesinden başladığı ve yan kenarlara (

[AB]

ve

[AC]

) olan mesafeleri eşitlediği için bu tanıma tam olarak uyar.

Key Concept

Açıortay üzerindeki her nokta, açının kollarından eşit uzaklıktadır.

Hints

1

Bir noktanın bir doğruya uzaklığı denildiğinde o noktadan doğruya inilen 'dikme' uzunluğu kastedilir.

2

Üçgenin hangi elemanı, bulunduğu açıyı tam ortadan bölerek her iki kenara simetrik bir konumda bulunur?

3

Açıortay teoremini hatırlayın: Açıortay üzerindeki bir noktadan açının kenarlarına çizilen dikmeler birbirine eşittir.

Practice More

İkizkenar üçgende hangi yardımcı elemanların (yükseklik, açıortay, kenarortay) çakışık olduğunu inceleyerek bu konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Bu noktanın aynı zamanda iç teğet çemberin merkezi (

I

) olabileceğini düşünün. İç teğet çemberin merkezi, tüm kenarlara eşit (yarıçap kadar) uzaklıktadır ve bu nokta tüm iç açıortayların kesim noktasıdır.

Estimated Time:1m 30s

Question 13Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $G$ noktası ağırlık merkezidir. Bu üçgende $|AB| = 15$ cm, $|AC| = 20$ cm ve $|BC| = 21$ cm olarak verilmiştir. $A$ köşesine ait iç açıortay doğrusu $[BC]$ kenarını $D$ noktasında kesmektedir. $G$ noktasından geçen ve $[BC]$ kenarına paralel olan doğru; $[AB]$ kenarını $K$ , $[AC]$ kenarını $L$ ve $[AD]$ açıortay doğrusunu $P$ noktasında kesmektedir. Buna göre, $|PL|$ kaç cm'dir?

6

7

8

9

10

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Hesaplamalar sonucunda

|PL|

uzunluğu 8 cm olarak bulunur.

Doğru cevap olan seçenek, ağırlık merkezinin köşeye olan uzaklığının kenara olan uzaklığının iki katı olması (

AG = 2 \cdot GD'

) gerçeğinden hareketle,

KL

doğrusunun

BC

doğrusuna olan paralelliği sayesinde kurulan

2/3

benzerlik oranını doğru kullanmıştır. Bu oranla

|KL| = 14

cm bulunmuş, ardından iç açıortay teoremi ile bu uzunluk

15:20

(yani

3:4

) oranında bölünerek istenen parça elde edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1

Ağırlık merkezinin özelliğini ve benzerlik oranını belirleme.

AK/AB = AL/AC = 2/3

oranı elde edilir.

G

ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden kenara

2:1

oranında böler.

[KL] \parallel [BC]

olduğu için

\triangle AKL \sim \triangle ABC

benzerliği oluşur ve benzerlik oranı

2/3

olur.

2

|KL|

uzunluğunu hesaplama.

|KL| = 14

cm

Benzerlik oranından

|KL| / |BC| = 2/3 \Rightarrow |KL| / 21 = 2/3

eşitliği yazılır.

3

İç açıortay teoremini

[KL]

segmentine uygulama.

|KP| / |PL| = 15 / 20 = 3/4

oranı bulunur.

[AD]

açıortay olduğu için

[KL]

üzerinde

|KP| / |PL| = |AK| / |AL|

oranı geçerlidir. Benzerlikten

|AK|/|AL| = |AB|/|AC|

olduğu görülür.

4

Orantı kullanarak

|PL|

değerini bulma.

|PL| = 8

cm

|KP| = 3k

ve

|PL| = 4k

dersek,

3k + 4k = 14 \Rightarrow 7k = 14 \Rightarrow k = 2

olur. Buradan

|PL| = 4 \times 2 = 8

cm bulunur.

Key Concept

Ağırlık merkezi kenarortayı

2:1

oranında böler ve iç açıortay teoremi karşı kenarı kolların oranında böler.

Question 14Question →

Dik kenarları $[AB]$ ve $[BC]$ olan bir $ABC$ dik üçgeninde, $A$ köşesine ait iç açıortay doğrusu $[BC]$ kenarını $D$ noktasında kesmektedir.

$|BD| = 6$ cm ve $|DC| = 10$ cm olduğuna göre, $ABC$ üçgeninin çevresi kaç cm'dir?

36

42

48

60

96

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

48

İç açıortay teoremine göre kenarların oranı, açıortayın tabanda ayırdığı parçaların oranına eşittir (

3/5

). Dik kenar 16 cm olduğu için, 3k-16-5k dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanarak k=4 bulunur. Kenarlar 12, 16 ve 20 cm olur. Toplam çevre 48 cm'dir.

Step-by-Step Solution

1

Verilenleri analiz et

ABC

bir dik üçgen,

[AB] \perp [BC]

.

|BD| = 6

,

|DC| = 10

. Toplam

|BC| = 16

cm.

Sorudaki geometrik yapıyı ve uzunlukları belirlemek için.

2

İç Açıortay Teoremini uygula

\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

. Buradan

|AB| = 3k

ve

|AC| = 5k

diyebiliriz.

Açıortayın kenarları, ayırdığı parçalarla orantılı böldüğü kuralını kullanmak için.

3

Pisagor Bağıntısını kullanarak k değerini bul

(3k)^2 + 16^2 = (5k)^2 \Rightarrow 9k^2 + 256 = 25k^2 \Rightarrow 16k^2 = 256 \Rightarrow k^2 = 16 \Rightarrow k = 4

.

Bilinmeyen kenar uzunluklarını hesaplamak için dik üçgen özelliğini kullanmak.

4

Kenar uzunluklarını ve çevreyi hesapla

|AB| = 3(4) = 12

,

|AC| = 5(4) = 20

. Çevre =

12 + 16 + 20 = 48

cm.

Sonucu bulmak için.

Key Concept

İç Açıortay Teoremi ve Pisagor Bağıntısı

Hints

1

Önce İç Açıortay Teoremini kullanarak

|AB|

ve

|AC|

kenarları arasındaki oranı belirleyin.

2

Kenarlar arasındaki orana göre

|AB| = 3k

ve

|AC| = 5k

diyebilirsiniz.

|BC|

uzunluğu bellidir.

3

ABC

üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayın:

(3k)^2 + 16^2 = (5k)^2

. Buradan k değerini bulun.

Practice More

Benzer bir soruyu Dış Açıortay Teoremi kullanarak çözmeyi deneyin.

Alternative Method

3k-16-5k kenarlarına sahip dik üçgenin, 3-4-5 üçgeninin bir katı olduğunu fark ederseniz; 4 birimlik kenarın 16'ya karşılık geldiğini görüp doğrudan ölçek katsayısının (k) 4 olduğunu bulabilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 15Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $B$ ve $C$ köşelerine ait iç açıortaylar üçgenin içindeki bir $I$ noktasında kesişmektedir. $m(\widehat{BAC}) = 80^\circ$ olduğuna göre, $m(\widehat{BIC})$ kaç derecedir?

130

140

120

100

170

Show answer & explanation

Answer: 130

Answer

İç açıortayların kesişmesiyle oluşan açı 130 derecedir.

İç açıortayların kesiştiği noktada oluşan geniş açı, tepe açısının yarısının 90 derece fazlası kuralına (

90 + A/2

) dayanır.

80

derecenin yarısı olan

40

dereceyi

90

ile topladığımızda

130

sonucuna ulaşırız.

Step-by-Step Solution

1

Kesişim noktasının özelliğini belirleyin

I

noktası iç açıortayların kesişim noktasıdır (İç teğet çemberin merkezi).

Soruda

B

ve

C

köşelerine ait iç açıortayların bu noktada kesiştiği belirtilmiştir.

2

İlgili geometri formülünü uygulayın

m(\widehat{BIC}) = 90^\circ + \frac{m(\widehat{BAC})}{2}

Bir üçgende iki iç açıortay arasında kalan açı, tepe açısının yarısının 90 derece fazlasına eşittir.

3

Verilen değeri yerine koyarak hesaplayın

90^\circ + \frac{80^\circ}{2} = 90^\circ + 40^\circ = 130^\circ

Aritmetik toplama işlemi sonucunda doğru açı değeri bulunur.

Key Concept

İç Açıortayların Kesişimi ile Oluşan Açı

Hints

1

Üçgenin içindeki

I

noktası, iki iç açıortayın birleştiği yerdir.

2

İç açıortaylar arasında kalan açıyı bulmak için tepe açısı ile 90 derece arasındaki ilişkiyi hatırlayın.

3

90 + (A/2)

formülünü kullanarak

80

derecelik tepe açısını yerine yerleştirin.

Practice More

Dış açıortayların kesişimiyle oluşan açıyı bulmaya yönelik benzer bir soru çözerek formül farkını pekiştirin.

Alternative Method

Üçgenin iç açılar toplamını (

180^\circ

) kullanarak

B/2 + C/2 + \widehat{BIC} = 180^\circ

ve

80 + B + C = 180^\circ

denklemlerini kurarak da sonuca ulaşabilirsiniz.

Estimated Time:1m 15s

Question 16Question →

$[AB] \perp [AC]$ olan $ABC$ dik üçgeninde, $[BN]$ doğru parçası $\widehat{ABC}$ açısına ait iç açıortaydır.

$N$ noktası $[AC]$ kenarı üzerinde olmak üzere; $|AN| = 3$ cm ve $|NC| = 5$ cm olduğuna göre, $|BN|$ kaç santimetredir?

3\sqrt{2}

6

3\sqrt{5}

8

10

Show answer & explanation

Answer: $3\sqrt{5}$

Answer

Doğru cevap

3\sqrt{5}

değeridir.

Açıortay teoremi ile kenarlar arasındaki 3/5 oranı belirlenir. Büyük üçgende Pisagor bağıntısı uygulanarak kenarların gerçek uzunlukları (

|AB|=6

,

|BC|=10

) bulunur. Son adımda

ABN

dik üçgeninde tekrar Pisagor uygulanarak açıortay uzunluğu hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Açıortay teoremini kullanarak kenar oranlarını belirle.

İç açıortay teoremine göre

\frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|AN|}{|NC|} = \frac{3}{5}

'tir.

Bir üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranına göre böler.

2

Bilinmeyen kenarları

k

sabiti cinsinden ifade et ve Pisagor teoremini uygula.

|AB| = 3k

ve

|BC| = 5k

olsun.

ABC

dik üçgeninde

(3k)^2 + (3+5)^2 = (5k)^2

denklemi kurulur.

Büyük dik üçgende Pisagor bağıntısı uygulanarak orantı sabiti bulunmalıdır.

3

Denklemi çözerek

k

değerini ve

|AB|

uzunluğunu bul.

9k^2 + 64 = 25k^2 \Rightarrow 16k^2 = 64 \Rightarrow k^2 = 4 \Rightarrow k = 2

. Buradan

|AB| = 3k = 6

cm bulunur.

Bilinmeyen kenarı bulmak için denklem çözülür.

4

ABN

üçgeninde Pisagor uygulayarak

|BN|

uzunluğunu hesapla.

|BN|^2 = |AB|^2 + |AN|^2 \Rightarrow |BN|^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45

. Sonuç

|BN| = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}

cm.

İstenen açıortay uzunluğu, oluşan küçük dik üçgenin hipotenüsüdür.

Key Concept

İç Açıortay Teoremi ve Pisagor Bağıntısı

Hints

1

İç açıortay teoremini hatırlayın: Açıortayın böldüğü parçaların oranı, o parçalara komşu olan kenarların oranına eşittir.

2

|AB|

ve

|BC|

kenarlarına sırasıyla

3k

ve

5k

diyerek büyük üçgende Pisagor bağıntısı uygulayın.

Alternative Method

İç açıortay uzunluğu formülü (

|BN|^2 = |AB|\cdot|BC| - |AN|\cdot|NC|

) kullanılarak da çözülebilir:

|BN|^2 = 6\cdot10 - 3\cdot5 = 60 - 15 = 45

.

Estimated Time:2m 30s

Question 17Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $A$ köşesine ait iç açıortay, $[BC]$ kenarını $D$ noktasında kesmektedir. $|BD| = 5$ cm, $|DC| = 7$ cm ve $ABC$ üçgeninin çevresi $48$ cm olduğuna göre, $|AC|$ kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

15

18

21

24

28

Show answer & explanation

Answer: 21

Answer

İç açıortay teoremi gereği kenarların oranı tabanların oranına eşittir; çevre bağıntısı kullanıldığında

|AC|

kenarı 21 cm bulunur.

İç açıortay teoremine göre, üçgenin yan kenarları (

|AB|

ve

|AC|

), açıortayın tabanda ayırdığı parçalarla (

|BD|

ve

|DC|

) orantılıdır.

|BD|=5

ve

|DC|=7

olduğu için

|AB|=5k

,

|AC|=7k

alınır. Üçgenin çevresi bu üç kenarın toplamı olduğundan,

5k + 7k + (5+7) = 48

denklemi kurulur. Buradan

12k + 12 = 48

işleminden

k=3

bulunur. İstenen kenar

|AC| = 7k = 7 \times 3 = 21

cm'dir.

Step-by-Step Solution

1

İç açıortay teoremini uygula.

\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{|AC|}{|DC|} \implies \frac{|AB|}{5} = \frac{|AC|}{7}

. Buradan

|AB| = 5k

ve

|AC| = 7k

denilebilir.

Üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranına göre böler.

2

[BC]

kenarının uzunluğunu hesapla.

|BC| = |BD| + |DC| = 5 + 7 = 12

cm.

Taban uzunluğu, açıortayın ayırdığı parçaların toplamıdır.

3

Çevre formülünü kullanarak

k

orantı sabitini bul.

Çevre(

ABC

) =

|AB| + |AC| + |BC| = 48

cm.

5k + 7k + 12 = 48 \implies 12k = 36 \implies k = 3

.

Üçgenin çevresi tüm kenar uzunluklarının toplamıdır.

4

İstenen

|AC|

kenarını hesapla.

|AC| = 7k = 7 \times 3 = 21

cm.

|AC|

kenarı

7k

olarak belirlenmişti.

Key Concept

İç Açıortay Teoremi

Question 18Question →

Bir geometri dersinde öğretmen, tahtaya bir $ABC$ üçgeni çizmiş ve bu üçgenin her bir iç açısını iki eş parçaya bölen doğru parçalarını (iç açıortaylar) göstermiştir. Bu üç iç açıortayın üçgenin içerisinde kesiştiği nokta ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Bu nokta, üçgenin ağırlık merkezidir.

Bu nokta, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.

Bu nokta, üçgenin diklik merkezidir.

Bu nokta, üçgenin çevrel çemberinin merkezidir.

Bu nokta, üçgenin dış teğet çemberinin merkezidir.

Show answer & explanation

Answer: Bu nokta, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.

Answer

İç açıortayların kesiştiği nokta, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.

Üçgende iç açıortaylar, üçgenin kenarlarına eşit uzaklıkta bulunan tek bir noktada kesişirler. Bu nokta, üçgenin kenarlarına içten teğet olan çemberin merkezi olduğu için 'iç teğet çemberin merkezi' olarak adlandırılır.

Step-by-Step Solution

1

Yardımcı elemanı tanımlayın.

Soruda verilen elemanlar iç açıortaylardır.

Bir açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçasına açıortay denir.

2

Kesişim noktasının özelliklerini hatırlayın.

İç açıortaylar üçgenin içinde tek bir noktada kesişir.

Üçgende yardımcı elemanların kesişim noktaları özel isimler alır.

3

Noktanın geometrik karşılığını saptayın.

Açıortayların kesişim noktası, üçgenin kenarlarına eşit uzaklıktadır.

Bu eşit uzaklık (r), üçgenin içine çizilen ve kenarlara teğet olan çemberin yarıçapıdır, dolayısıyla bu nokta iç teğet çemberin merkezidir.

Key Concept

Üçgende İç Açıortayların Kesişim Noktası (İç Teğet Çemberin Merkezi)

Hints

1

Üçgende açıları iki eş parçaya bölen doğru parçalarına 'açıortay' denir.

2

Açıortayların kesiştiği bu özel nokta, üçgenin tüm kenarlarına aynı dik uzaklıktadır.

3

Kenarlara eşit uzaklıkta olan bu nokta, üçgenin içine çizilen ve kenarlara dokunan çemberin merkezidir.

Practice More

Kenarortayların kesişim noktası olan 'Ağırlık Merkezi' (G) ve özelliklerini tekrar etmek bu konuyu pekiştirmenize yardımcı olacaktır.

Estimated Time:45s

Question 19Question →

Şekildeki $ABC$ üçgeninde $[AN]$ doğru parçası, $\widehat{BAC}$ açısının açıortayıdır.

$|AB| = 8$ cm, $|AC| = 12$ cm ve $|BN| = 6$ cm olduğuna göre, $|NC|$ uzunluğu kaç santimetredir?

4

6

8

9

10

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

İç açıortay teoremi kullanılarak hesaplanan uzunluk 9 santimetredir.

Üçgende iç açıortay teoremi gereği, kenar uzunluklarının oranı, bu kenarların ayırdığı taban parçalarının oranına eşittir. Verilen değerlerle

\frac{|AB|}{|BN|} = \frac{|AC|}{|NC|}

orantısı kurulur. Buradan

\frac{8}{6} = \frac{12}{|NC|}

eşitliği elde edilir ve işlem yapıldığında

|NC| = 9

cm bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Soruda verilen

[AN]

doğru parçasının iç açıortay olduğunu belirle.

İç Açıortay Teoremi uygulanmalıdır.

Bir üçgende iç açıortay, indiği kenarı diğer iki kenarın uzunlukları oranında böler.

2

Teoreme uygun orantıyı kur:

\frac{|AB|}{|BN|} = \frac{|AC|}{|NC|}

.

\frac{8}{6} = \frac{12}{x}

Kenarların kendi taraflarındaki taban parçalarına oranı eşittir.

3

İçler dışlar çarpımı yaparak

x

değerini hesapla.

8 \cdot x = 6 \cdot 12 \Rightarrow 8x = 72 \Rightarrow x = 9

cm

Denklem çözümü.

Key Concept

İç Açıortay Teoremi

Hints

1

Üçgende iç açıortay, kenarları ve taban parçalarını belirli bir orana göre böler.

2

Sol kenarın sol taban parçasına oranı, sağ kenarın sağ taban parçasına oranına eşittir.

3

\frac{8}{6} = \frac{12}{|NC|}

eşitliğini kullanmalısın.

Estimated Time:1m 0s

Question 20Question →

ABC bir üçgen ve G noktası bu üçgenin ağırlık merkezidir.

$BG \perp CG$ olmak üzere;
$|BG| = 6$ cm ve $|CG| = 8$ cm olduğuna göre, $|AG|$ uzunluğu kaç cm'dir?

5

8

10

12

15

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

AG uzunluğu 10 cm'dir.

Öncelikle

BGC

üçgeninde Pisagor bağıntısı veya 6-8-10 özel üçgeni kuralı ile

|BC|=10

cm bulunur.

G

noktası ağırlık merkezi olduğu için,

A

köşesinden gelen kenarortay

G

noktasından geçer ve

BC

kenarını ortalar (bu noktaya

D

diyelim).

BGC

dik üçgen olduğu için 'Muhteşem Üçlü' kuralı gereği hipotenüse ait kenarortay (

GD

), hipotenüsün yarısıdır (

|GD|=5

cm). Son olarak, ağırlık merkezi kenarortayı 1'e 2 oranında böldüğü için

|AG| = 2 \cdot |GD|

formülünden

|AG| = 10

cm bulunur.

Step-by-Step Solution

1

BGC üçgeninde Pisagor bağıntısını uygula.

|BG|=6

ve

|CG|=8

olduğu için,

6-8-10

özel üçgeninden

|BC| = 10

cm bulunur.

BG ve CG dik kesiştiği için BGC dik üçgendir.

2

Ağırlık merkezinden geçen kenarortay doğrusunu çiz ve 'Muhteşem Üçlü' özelliğini kullan.

AG doğrusunu uzatıp BC'yi kestiği noktaya D diyelim. BGC dik üçgeninde hipotenüse ait kenarortay (GD), hipotenüsün yarısıdır.

|GD| = |BC| / 2 = 10 / 2 = 5

cm.

Dik üçgende hipotenüse indirilen kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir.

3

Ağırlık merkezi oran özelliğini kullanarak AG uzunluğunu hesapla.

G ağırlık merkezi kenarortayı 1'e 2 oranında böler (

|AG| = 2 \cdot |GD|

). Buna göre

|AG| = 2 \cdot 5 = 10

cm.

Ağırlık merkezi köşeye 2 birim, kenara 1 birim uzaklıktadır.

Key Concept

Ağırlık Merkezi ve Muhteşem Üçlü

Hints

1

BGC üçgeninde Pisagor bağıntısını kullanarak BC uzunluğunu bulunuz.

2

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün yarısıdır (Muhteşem Üçlü).

3

Ağırlık merkezi, kenarortayı 1 birim kenara, 2 birim köşeye olacak şekilde böler (

|AG| = 2|GD|

).

Practice More

Benzer bir soruda hipotenüs uzunluğu verilip ağırlık merkezinin köşeye uzaklığı sorulabilir.

Estimated Time:1m 30s

Üçgende Yardımcı Elemanlar

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer