Examkin

Question

Difficulty: HardÇarpanlara Ayırma
x,yx, y ve zz gerçel sayıları için,
x−y=4 x - y = 4
y−z=4 y - z = 4
eşitlikleri veriliyor. Buna göre,
x2+z2−2y2 x^2 + z^2 - 2y^2
ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A
    16
  2. B
    24
  3. 32Answer
  4. D
    48
  5. E
    64

Answer

İfadenin değeri 32'dir.
Verilen ifade (x2−y2)+(z2−y2)(x^2 - y^2) + (z^2 - y^2) şeklinde gruplandırılıp iki kare farkı özdeşliği uygulandığında, terimler sadeleşerek 4(x−z)4(x-z) halini alır. Denklemler taraf tarafa toplandığında x−z=8x-z=8 bulunur ve sonuç 3232 çıkar.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeyi çarpanlarına ayırmaya uygun hale getirmek için −2y2-2y^2 terimini parçalayarak gruplandırın.
x2+z2−2y2=(x2−y2)+(z2−y2) x^2 + z^2 - 2y^2 = (x^2 - y^2) + (z^2 - y^2)
İfadeyi bilinen iki kare farkı özdeşliklerine dönüştürmek için.
2
Her iki gruba iki kare farkı özdeşliğini uygulayın.
(x−y)(x+y)+(z−y)(z+y) (x - y)(x + y) + (z - y)(z + y)
x−yx-y ve y−zy-z değerlerini kullanabilmek için.
3
Verilen eşitlikleri kullanarak farkları yerine koyun. (x−y=4x-y=4 ve y−z=4y-z=4 ise z−y=−4z-y=-4 olur).
4(x+y)+(−4)(z+y) 4(x + y) + (-4)(z + y)
Değişkenleri azaltmak ve sayısal sonuca yaklaşmak için.
4
İfadeyi 4 parantezine alarak düzenleyin.
4(x+y−z−y)=4(x−z) 4(x + y - z - y) = 4(x - z)
yy değişkenini yok etmek için.
5
x−zx - z değerini bulmak için verilen ilk iki denklemi taraf tarafa toplayın.
(x−y)+(y−z)=4+4  ⟹  x−z=8 (x - y) + (y - z) = 4 + 4 \implies x - z = 8
Sonuç için gerekli olan son bileşeni bulmak için.
6
Bulunan x−zx-z değerini sonuç ifadesinde yerine yazın.
4⋅8=32 4 \cdot 8 = 32
Nihai sonucu hesaplamak için.

Key Concept

İki Kare Farkı Özdeşliği ve Terim Ekleme/Çıkarma ile Gruplandırma

Hints

1
İfadeyi x2−y2+z2−y2x^2 - y^2 + z^2 - y^2 şeklinde yazarak iki parça halinde düşünmeyi deneyin.
2
Her iki parçaya da iki kare farkı (a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)) özdeşliğini uygulayın.
3
Verilen iki eşitliği taraf tarafa toplayarak xx ve zz arasındaki ilişkiyi bulun (x−z=8x-z=8).

Practice More

x−2y+z=0x - 2y + z = 0 ve x2−z2=24x^2 - z^2 = 24 gibi denklem sistemlerinin çözüm kümelerini inceleyen sorular çözülebilir.

Alternative Method

Değer Verme Yöntemi: y=0y=0 seçilirse, x=4x=4 ve z=−4z=-4 olur. Bu değerler istenen ifadede yerine yazıldığında: 42+(−4)2−2(0)2=16+16=324^2 + (-4)^2 - 2(0)^2 = 16 + 16 = 32 sonucu daha hızlı bulunabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Çarpanlara Ayırma

More questions from this topic