Examkin

Question

Difficulty: HardArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bir şehirdeki ana caddede bulunan aydınlatma direkleri, caddenin başından sonuna doğru 11'den başlayarak nn'ye kadar ardışık tam sayılarla numaralandırılmıştır. Şiddetli bir fırtına sonucunda bu direklerden biri yıkılmış ve sistem dışı kalmıştır. Sağlam kalan direklerin numaralarının aritmetik ortalaması hesaplandığında sonucun 3030 olduğu görülmüştür. Yıkılan direğin, caddenin en başında veya en sonunda bulunan direk olmadığı bilindiğine göre, bu direğin numarası kaçtır?

  1. A
    29
  2. 30Answer
  3. C
    58
  4. D
    59
  5. E
    60

Answer

Yıkılan direğin numarası 30'dur.
Ardışık sayı dizisinden bir sayı çıkarıldığında ortalama değişmiyorsa (veya çok az değişiyorsa), çıkarılan sayı dizinin ortanca değerine çok yakındır. Denklem çözüldüğünde n=59n=59 ve x=30x=30 bulunur. 3030, 11'den 5959'a kadar olan sayıların tam ortasındaki sayıdır.

Step-by-Step Solution

1
Toplam direk sayısına nn, yıkılan direğin numarasına xx diyelim. Kalan direklerin toplamını ve ortalamasını ifade edelim.
Toplam =n(n+1)2−x= \frac{n(n+1)}{2} - x, Kalan Sayısı =n−1= n-1. Ortalama denklemimiz: n(n+1)2−xn−1=30\frac{\frac{n(n+1)}{2} - x}{n-1} = 30
Aritmetik ortalama tanımı gereği, toplam değerin eleman sayısına bölünmesi gerekir.
2
Denklemi xx'i yalnız bırakacak şekilde düzenleyelim.
n(n+1)2−x=30(n−1)⇒n(n+1)−2x=60(n−1)⇒2x=n2+n−60n+60⇒2x=n2−59n+60\frac{n(n+1)}{2} - x = 30(n-1) \Rightarrow n(n+1) - 2x = 60(n-1) \Rightarrow 2x = n^2 + n - 60n + 60 \Rightarrow 2x = n^2 - 59n + 60
xx değerini nn cinsinden ifade ederek, xx'in 11 ile nn arasında olması şartını kullanacağız.
3
1≤x≤n1 \le x \le n eşitsizliğini kullanarak nn için olası değerleri bulalım.
2≤2x≤2n2 \le 2x \le 2n olduğuna göre; n2−59n+60n^2 - 59n + 60 ifadesini incelediğimizde nn değerinin 58, 59 veya 60 olabileceğini görürüz.
Bu ikinci dereceden eşitsizlikler, nn için çok dar bir aralık verir (2×Ortalama2 \times \text{Ortalama} civarında).
4
Bulunan nn değerleri için xx'i hesaplayıp 'baştan veya sondan olmama' şartını kontrol edelim.
n=58n=58 için x=1x=1 (BAŞTA - RED);
n=60n=60 için x=60x=60 (SONDA - RED);
n=59n=59 için x=30x=30 (ORTADA - KABUL).
Soruda verilen kısıtlama (en başta veya en sonda olmama) tek bir doğru cevabı belirlememizi sağlar.

Key Concept

Ardışık sayıların ortalaması ile simetri ilişkisi. Eğer bir kümeden eleman çıkarıldığında ortalama değişmiyorsa, çıkarılan eleman kümenin ortalamasına eşittir.

Hints

1
Kalan direklerin ortalaması 30 olduğuna göre, direk sayısı yaklaşık olarak 2×30=602 \times 30 = 60 civarında olmalıdır.
2
Toplam direk sayısına nn, yıkılan direğe xx diyerek; Toplam−xn−1=30\frac{\text{Toplam} - x}{n-1} = 30 denklemini kurunuz.
3
xx'i yalnız bıraktığınızda 2x=n2−59n+602x = n^2 - 59n + 60 elde edersiniz. xx'in 11 veya nn olamayacağını unutmayın.

Practice More

Ortalamanın tam sayı olmadığı (30.530.5 gibi) bir senaryoda nn ve xx değerlerinin nasıl değişeceğini inceleyiniz.

Alternative Method

Mantıksal Yaklaşım: 11'den nn'ye kadar sayıların ortalaması yaklaşık n/2n/2'dir. Eğer ortalama 3030 ise, nn yaklaşık 59−6059-60'tır. Bir sayı çıkarıldığında ortalama değişmiyorsa (veya tamsayı kalıyorsa), çıkarılan sayı genellikle dizinin 'denge noktası' olan ortalamaya eşittir. Bu durumda x=30x=30 ilk denenmesi gereken değerdir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

More questions from this topic