Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar Practice Questions — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Birbirinden farklı tam sayılardan oluşan iki veri grubu için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* I. Grup: Ardışık $5$ çift tam sayıdan oluşmaktadır.
* II. Grup: Ardışık $3$ tek tam sayıdan oluşmaktadır.
* I. gruptaki sayıların toplamı, II. gruptaki sayıların toplamının $2$ katına eşittir.
* I. grubun en büyük elemanı, II. grubun en küçük elemanından $13$ fazladır.

Buna göre, her iki gruptaki tüm sayılar bir araya getirildiğinde elde edilen en büyük sayı ile en küçük sayının toplamı kaçtır?

75

77

79

81

83

Show answer & explanation

Answer: 79

Answer

Her iki grubun birleşimindeki en büyük ve en küçük sayıların toplamı 79'dur.

Verilen iki koşul (toplamların oranı ve uç terimlerin farkı) kullanılarak kurulan denklem sisteminde

y=16

ve

x=19

bulunur. Bu değerler yerine yazıldığında en küçük sayı 33, en büyük sayı 46 olur ve toplamları 79'dur.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenleri tanımla

I. Grup (Çift):

2x, 2x+2, 2x+4, 2x+6, 2x+8

II. Grup (Tek):

2y+1, 2y+3, 2y+5

Ardışık çift sayılar 2'şer, ardışık tek sayılar 2'şer artar.

2

Grupların toplamlarını hesapla ve birinci denklemi kur

I. Grup Toplamı

= 10x + 20

II. Grup Toplamı

= 6y + 9

Denklem:

10x + 20 = 2(6y + 9)

Soruda I. grup toplamının, II. grup toplamının 2 katı olduğu verilmiştir.

3

İkinci denklemi kur (En büyük/En küçük ilişkisi)

I. grubun en büyüğü

(2x+8)

, II. grubun en küçüğünden

(2y+1)

13 fazladır.
Denklem:

(2x+8) - (2y+1) = 13 → 2x - 2y = 6 → x - y = 3 → x = y + 3

Verilen fark ilişkisini matematiksel ifadeye dökmek için.

4

Denklem sistemini çöz

10x + 20 = 12y + 18

x = y+3

yerine yazılırsa:

10(y+3) + 20 = 12y + 18

10y + 30 + 20 = 12y + 18

50 - 18 = 2y → 32 = 2y → y = 16

. Buradan

x = 19

bulunur.

İki bilinmeyenli denklemi çözerek sayıların asıl değerlerine ulaşmak.

5

En büyük ve en küçük sayıları bulup topla

I. Grup:

38, 40, 42, 44, 46

II. Grup:

33, 35, 37

Tüm sayıların En Küçüğü = 33 (II. gruptan)
Tüm sayıların En Büyüğü = 46 (I. gruptan)
Toplam:

33 + 46 = 79

Sonuç için istenen değerleri belirlemek.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde terim kurgusu ve iki bilinmeyenli denklem çözümü.

Hints

1

Ardışık çift sayıları

2x, 2x+2, ...

ve ardışık tek sayıları

2y+1, 2y+3, ...

şeklinde değişkenlerle ifade etmelisin.

2

I. grubun toplamını

x

cinsinden, II. grubun toplamını

y

cinsinden bulup, verilen '2 katı' ilişkisiyle bir denklem kur.

Practice More

Ardışık sayıların toplam formülleriyle ilgili, terim sayısı arttırılmış (örn. 20 terim) benzer sorular çözülmesi önerilir.

Alternative Method

Ortanca terim formülü kullanılabilir: I. grubun ortancası

2x+4

, toplamı

5(2x+4)

. II. grubun ortancası

2y+3

, toplamı

3(2y+3)

. Bu yöntem toplam formülünü sadeleştirir.

Estimated Time:2m 30s

Question 2Question →

$1$ ’den $n$ ’ye kadar olan ardışık tam sayıların toplamı $210$ olduğuna göre, $n$ değeri kaçtır?

19

20

21

22

25

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Ardışık sayıların toplam formülüne göre

n = 20

olmalıdır.

1

’den

n

’ye kadar olan sayıların toplamı

\frac{n(n+1)}{2}

formülü ile bulunur.

\frac{20 \cdot 21}{2} = 10 \cdot 21 = 210

olduğundan, toplamın

210

olması için

n

sayısının

20

olması gerektiği matematiksel olarak doğrulanır.

Step-by-Step Solution

1

Ardışık tam sayıların toplam formülünü belirle.

1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n \cdot (n+1)}{2}

1

’den başlayarak birer birer artan sayıların toplamı Gauss formülü ile hesaplanır.

2

Verilen toplamı formülde yerine koyarak bir denklem oluştur.

\frac{n \cdot (n+1)}{2} = 210

Soruda toplamın

210

olduğu verilmiştir.

3

İçler dışlar çarpımı yaparak

n

ve

n+1

çarpımını bul.

n \cdot (n+1) = 420

Eşitliğin her iki tarafını

2

ile çarparak paydadan kurtuluruz.

4

Çarpımları

420

olan ardışık iki tam sayıyı tespit et.

20 \cdot 21 = 420

olduğundan

n = 20

20

ve

21

sayıları ardışıktır ve çarpımları tam olarak

420

sonucunu verir.

Key Concept

Ardışık Sayıların Toplamı (Gauss Metodu)

Hints

1

1'den başlayan ardışık sayıların toplamı için

\frac{n(n+1)}{2}

formülünü hatırlayınız.

2

Formüldeki toplamı

210

’a eşitlediğinizde ardışık iki sayının çarpımının

420

olduğunu göreceksiniz.

3

20

ile

21

’i çarparak

420

sonucuna ulaşıp ulaşmadığınızı kontrol ediniz.

Practice More

Ardışık tek tam sayıların toplamı olan

1+3+5+...+(2n-1) = n^2

formülünü çalışarak bu konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Ardışık sayıların toplamında ortanca terim kuralı da kullanılabilir. Toplam

210

ve sayı adedi

n

ise, yaklaşık ortalama değerden giderek

n

tahmin edilebilir.

Estimated Time:1m 0s

Question 3Question →

Bir konferans salonundaki koltuklar $1$ 'den başlanarak $n$ 'ye kadar ardışık tam sayılarla numaralandırılmıştır. Teknik bir arıza nedeniyle bir koltuk kullanıma kapatılmıştır. Kullanılabilir durumdaki diğer koltukların numaralarının aritmetik ortalaması $22 \frac{9}{11}$ olarak hesaplandığına göre, kullanıma kapatılan koltuğun numarası kaçtır?

24

31

35

42

45

Show answer & explanation

Answer: 31

Answer

Kullanıma kapatılan koltuğun numarası 31'dir.

Soruda verilen ortalama değeri (

22 \frac{9}{11}

) kullanılarak toplam koltuk sayısının (

n

) yaklaşık 45 olduğu tahmin edilir. Denklem yerine konulduğunda,

n=45

için çıkarılan sayının 31 olduğu ve bu sayının geçerli aralıkta bulunduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1

Verilenleri matematiksel ifadelere dök.

Toplam koltuk sayısı

n

, çıkarılan koltuk numarası

x

olsun. Kalan koltuk sayısı

n-1

olur. Ortalama

A = 22 \frac{9}{11} = \frac{251}{11}

.

Sözel problemi cebirsel denkleme dönüştürmek için.

2

Toplam formülünü ve ortalama eşitliğini kur.

1'den n'ye kadar toplam:

\frac{n(n+1)}{2}

. Kalanların toplamı:

\frac{n(n+1)}{2} - x

. Ortalama denklemi:

\frac{\frac{n(n+1)}{2} - x}{n-1} = \frac{251}{11}

.

Bilinmeyenler (

n

ve

x

) arasında bir ilişki kurmak için.

3

n

değerini tahmin etmek için ortalama özelliğini kullan.

1'den

n

'ye kadar sayıların ortalaması yaklaşık

\frac{n}{2}

'dir. Burada ortalama

\approx 22,8

olduğundan,

n \approx 45

olmalıdır.

İki bilinmeyenli tek denklemde tamsayı kısıtlamasını kullanarak çözüm aralığını daraltmak için.

4

n=45

değerini denklemde test et.

Denklemde yerine koyarsak:

\frac{\frac{45(46)}{2} - x}{44} = \frac{251}{11}

. Paydaları eşitlemek için sağ tarafı 4 ile genişletelim:

\frac{1035 - x}{44} = \frac{1004}{44}

.

Seçilen

n

değerinin tamsayı bir

x

çözümü verip vermediğini kontrol etmek için.

5

x

değerini hesapla.

1035 - x = 1004 \Rightarrow x = 31

. Bulunan

x

değeri

1 \le x \le 45

aralığında olduğu için çözüm geçerlidir.

Sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Ardışık sayıların toplamı ve aritmetik ortalama ilişkisi

Hints

1

1'den

n

'ye kadar olan sayıların toplam formülü

\frac{n(n+1)}{2}

'dir. Çıkarılan sayıya

x

diyerek yeni toplamı yazın.

2

Kalan sayıların adedi

n-1

olacaktır. Ortalama formülü:

\frac{\text{Kalanların Toplamı}}{n-1} = 22 \frac{9}{11}

.

3

Ortalama yaklaşık

22,8

olduğuna göre,

n

sayısı

22,8 \times 2 \approx 45,6

civarında bir tamsayı olmalıdır.

n=45

değerini deneyin.

Practice More

Benzer mantıkla, bir sayı eklendiğinde ortalamanın nasıl değiştiğini inceleyen sorular çözülebilir.

Alternative Method

Toplamların değişimi üzerinden düşünmek: Ortalama

\approx 22.8

ise, çıkarılan sayı ile orijinal ortalama arasındaki fark, yeni ortalamayı belirler. Ancak bu tür sorularda doğrudan formül yerine

n

'yi sınırlamak en güvenilir yöntemdir.

Estimated Time:3m 0s

Question 4Question →

$x$ bir çift doğal sayı olmak üzere, $x$ 'ten başlayan $10$ tane ardışık çift tam sayının toplamı $K$ 'dir. Bu sayıların her biri $3$ artırıldığında elde edilen yeni sayıların toplamı $L$ olmaktadır.

$7L = 8K$ olduğuna göre, $x$ kaçtır?

6

10

12

21

30

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Aranan

x

değeri 12'dir.

Soruda verilen bilgilere göre iki denklem kurulur. İlk olarak, her terim 3 arttığı için yeni toplam

L

, eski toplam

K

'den

10 \times 3 = 30

fazladır (

L = K + 30

). Verilen

7L = 8K

eşitliğinde

L

yerine

K+30

yazıldığında

K=210

bulunur. İkinci olarak,

x

'ten başlayan 10 ardışık çift sayının toplamı formülize edilir:

10x + (0+2+4+...+18) = 10x + 90

. Bu ifade 210'a eşitlendiğinde

x=12

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

L

ile

K

arasındaki ilişkiyi kullanarak

K

değerini bul.

L = K + (10 \times 3) = K + 30

olduğundan,

7(K+30) = 8K \Rightarrow 7K + 210 = 8K \Rightarrow K = 210

.

Her sayı 3 arttığında, 10 sayı için toplam artış

10 \times 3 = 30

olur.

2

K

toplamını

x

cinsinden ifade et.

Sayilar:

x, x+2, x+4, \dots, x+18

. Toplam

K = 10x + (2+4+\dots+18)

.

Ardışık çift sayılar

x

'ten başlayarak ikişer ikişer artar.

3

Sabit kısmın toplamını hesapla.

2+4+\dots+18 = 2(1+2+\dots+9) = 2 \times \frac{9 \times 10}{2} = 90

.

Gauss toplam formülü:

\frac{n(n+1)}{2}

.

4

Denklemi kur ve

x

'i çöz.

10x + 90 = 210 \Rightarrow 10x = 120 \Rightarrow x = 12

.

Elde edilen toplam ifadesini bulunan sayısal değere eşitleme.

Key Concept

Ardışık Sayıların Toplamı ve Denklem Kurma

Hints

1

Önce

L

ile

K

arasındaki matematiksel ilişkiyi terim sayısını dikkate alarak kurunuz. Her sayı 3 artarsa toplam ne kadar artar?

2

L = K + 30

eşitliğini soruda verilen orantıda kullanarak

K

'nin sayısal değerini bulunuz.

3

K = 210

bulduktan sonra,

x

'ten başlayan 10 ardışık çift sayının toplamını (

10x + 90

) bu değere eşitleyiniz.

Practice More

Benzer bir soruyu 'ardışık tek sayılar' ve 'azalma' durumu için çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Ortanca terim mantığıyla da çözülebilir.

K=210

ve terim sayısı 10 ise, sayıların ortalaması 21'dir. Ardışık çift sayılar dizisinde ortalama, 5. ve 6. terimin tam ortasıdır. Sayılar:

x, x+2, x+4, x+6, x+8, x+10...

5. terim

x+8

, 6. terim

x+10

. Ortalamaları

x+9 = 21 \Rightarrow x=12

.

Estimated Time:2m 0s

Question 5Question →

$A$ ve $B$ sayıları aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A = 12 + 14 + 16 + \dots + 2n

B = 11 + 13 + 15 + \dots + (2n-1)

$A - B = 35$ olduğuna göre, $n$ kaçtır?

35

38

40

41

45

Show answer & explanation

Answer: 40

Answer

40 sayısıdır.

Soruda verilen A ve B dizileri aynı sayıda terimden oluşmaktadır. A dizisi 12'den 2n'e kadar olan çift sayıları, B dizisi ise 11'den (2n-1)'e kadar olan tek sayıları içerir. İfadeler taraf tarafa çıkarıldığında (A-B), her bir terim çifti (12-11), (14-13), ... şeklinde 1 farkını verir. Toplam farkın 35 olması, bu şekilde 35 tane terim çifti olduğunu gösterir. Terim sayısı formülü

\frac{\text{Son} - \text{İlk}}{\text{Artış}} + 1

kullanılarak

n-5

bulunur.

n-5=35

denkleminden

n=40

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

A ve B ifadelerini taraf tarafa çıkarma yöntemini belirle.

A - B = (12-11) + (14-13) + \dots + (2n - (2n-1))

Her iki serideki terim sayıları eşittir ve terimler ikili gruplar halinde eşleştirildiğinde sabit bir fark oluşur.

2

Oluşan farkların değerini ve kaç tane terim olduğunu hesapla.

Her parantezin içi

1

eder. Terim sayısı:

\frac{2n-12}{2} + 1 = \frac{2n-12}{2} + \frac{2}{2} = \frac{2n-10}{2} = n-5

.

Sonlu toplam formülü kullanılarak terim sayısı bulunur:

\frac{\text{Son Terim} - \text{İlk Terim}}{\text{Artış Miktarı}} + 1

.

3

Toplam farkı terim sayısı ile eşitleyip denklemi çöz.

1 \times (n-5) = 35 \Rightarrow n-5 = 35 \Rightarrow n = 40

.

Her terim çiftinden gelen 1 farkı, toplam terim sayısı ile çarpılarak genel farka eşitlenir.

Key Concept

Ardışık Sayı Dizilerinde Terim Sayısı Bulma ve Taraf Tarafa İşlem

Question 6Question →

Bir caddede yan yana sıralanmış $7$ binanın kapı numaraları ardışık tek tam sayılardır. Bu numaraların toplamı $161$ olduğuna göre, en büyük kapı numarası kaçtır?

23

26

27

29

31

Show answer & explanation

Answer: 29

Answer

En büyük kapı numarası 29'dur.

Ardışık sayıların toplamı terim sayısına bölündüğünde, terim sayısı tek ise tam ortadaki sayı bulunur.

161 / 7 = 23

ortanca sayıdır. Sayılar ardışık tek sayılar olduğu için ikişer ikişer artarlar. Ortanca sayı 4. terimdir, en büyük sayı ise 7. terimdir. Bu nedenle ortanca sayıya

(7-4) \times 2 = 6

eklenmelidir. Sonuç

23 + 6 = 29

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen sayıların toplamını terim sayısına bölerek ortanca terimi (aritmetik ortalamayı) bul.

161 / 7 = 23 (Bu, dizinin tam ortasındaki 4. sayıdır)

Ardışık sayı dizilerinde, terim sayısı tek ise (burada 7), toplamın terim sayısına bölümü ortadaki sayıyı verir.

2

En büyük sayıyı bulmak için ortanca terimden kaç adım ileri gidilmesi gerektiğini hesapla.

Dizi 7 terimli olduğu için ortanca terim 4. sıradadır. En büyük terim 7. sıradadır. Arada 7 - 4 = 3 adım vardır.

Sıralama mantığı gereği son terime ulaşmak için ortadan sağa doğru ilerlenir.

3

Sayılar 'ardışık tek sayı' olduğu için artış miktarını dikkate alarak sonucu hesapla.

Her adımda sayı 2 artar. Toplam artış: 3 adım x 2 = 6. En büyük sayı: 23 + 6 = 29.

Ardışık tek tam sayılar arasındaki fark 2'dir.

Key Concept

Ardışık sayıların toplamı ve ortanca terim ilişkisi

Hints

1

Sayıların toplamını sayı adedine bölerseniz, bu sayı dizisinin tam ortasındaki sayıyı bulursunuz.

2

Bulduğunuz ortanca sayı, 7 sayının dördüncüsüdür. En büyük sayı 7. sıradadır.

3

Sayılar 'ardışık tek sayı' olduğu için her adımda 2 artar. 4. sayıdan 7. sayıya gitmek için 3 kez 2 eklemelisiniz.

Estimated Time:45s

Question 7Question →

$2a$ sayısından başlayan $n$ tane ardışık pozitif çift tam sayının toplamı $120$ olarak verilmiştir.

Bu sayı dizisinin terim sayısı ( $n$ ), dizinin ilk terimine eşit olduğuna göre, dizinin en büyük terimi aşağıdakilerden hangisidir?

4

8

16

22

30

Show answer & explanation

Answer: 22

Answer

Dizinin en büyük terimi 22'dir.

Ardışık çift sayıların toplam formülü kullanılarak kurulan

2n^2 - n - 120 = 0

denkleminin çözümü

n=8

'i verir. Bu, dizinin ilk terimidir. Son terim formülü uygulandığında (

8 + (8-1)2

) sonuç 22 bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilenleri matematiksel ifadelere dök.

İlk terim =

2a

, Terim sayısı

n = 2a

. Dizi:

n, n+2, n+4, ...

Soruda terim sayısının ilk terime eşit olduğu belirtilmiştir.

2

Son terimi

n

cinsinden ifade et.

Son Terim = İlk Terim + (Terim Sayısı - 1)

\times

Artış Miktarı =

n + (n-1)2 = 3n - 2

Ardışık çift sayılar 2'şer artar.

3

Toplam formülünü kur ve

n

değerini bul.

Toplam =

\frac{n}{2}(\text{İlk} + \text{Son}) = \frac{n}{2}(n + 3n - 2) = n(2n-1) = 2n^2 - n = 120

. Buradan

n=8

bulunur.

İkinci dereceden denklem çözümü (

2n^2 - n - 120 = 0

) sonucu pozitif kök alınır.

4

En büyük terimi hesapla.

En büyük terim =

3n - 2 = 3(8) - 2 = 22

.

Bulunan

n

değeri son terim formülünde yerine yazılır.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde genel toplam formülü: Terim Sayısı

\times

Ortancadır.

Hints

1

Terim sayısı ile ilk terimin eşit olduğunu (

n

) kullanarak, son terimi

n

cinsinden yazmayı deneyin.

Estimated Time:2m 30s

Question 8Question →

$1$ 'den $n$ 'ye kadar olan ardışık tam sayıların toplamı $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n \cdot (n+1)}{2}$ formülü ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, $1$ 'den $15$ 'e kadar olan ( $15$ dahil) tüm ardışık tam sayıların toplamı kaçtır?

105

115

120

136

240

Show answer & explanation

Answer: 120

Answer

1'den 15'e kadar olan ardışık sayıların toplamı 120'dir.

Verilen toplam formülünde son terim olan

n=15

değeri yerine yazıldığında,

\frac{15 \times 16}{2}

işlemi sonucunda

120

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Terim sayısını (

n

) belirle.

n = 15

Soru 1'den 15'e kadar olan sayıların toplamını istediği için son terim 15'tir.

2

Gauss toplam formülünü uygula.

\frac{15 \cdot (15 + 1)}{2} = \frac{15 \cdot 16}{2}

Ardışık sayıların toplamı için n(n+1)/2 formülü kullanılır.

3

Çarpma ve bölme işlemlerini gerçekleştir.

\frac{240}{2} = 120

veya

15 \cdot 8 = 120

16 ile 2 sadeleştiğinde 8 kalır, 15 ile 8'in çarpımı sonucu verir.

Key Concept

Gauss Toplam Formülü: 1'den n'ye kadar olan sayıların toplamı

Hints

1

Soru metninde verilen formülü kullanmayı dene.

2

Formülde

n

yerine toplamın bittiği son sayıyı (

15

) yazmalısın.

3

15

ile

16

'yı çarpıp sonucun yarısını alarak veya

16

ile

2

'yi sadeleştirip

15 \times 8

işlemini yaparak sonuca ulaşabilirsin.

Practice More

Ardışık çift sayıların (2, 4, 6, ...) toplam formülünü inceleyebilirsin.

Alternative Method

Sayıları gruplayarak toplama: (1+15) + (2+14) + ... + (7+9) + 8 şeklinde 7 tane 16 ve bir tane ortadaki 8 sayısını toplayarak (7 * 16 + 8 = 112 + 8 = 120) sonuca ulaşılabilir.

Estimated Time:45s

Question 9Question →

Bir kamu kurumundaki arşivleme çalışmaları kapsamında, $1$ 'den $n$ 'ye kadar ardışık tam sayılarla numaralandırılmış toplam $n$ adet dosya iki farklı arşive yerleştirilecektir. $1$ 'den $k$ 'ye kadar numaralı dosyalar A arşivine, $k+1$ 'den $n$ 'ye kadar numaralı dosyalar ise B arşivine konulmuştur. A arşivindeki dosyaların numaraları toplamı $X$ , B arşivindeki dosyaların numaraları toplamı $Y$ olarak belirlenmiştir.

$k = 10$ ve $Y - X = 100$ olduğuna göre, arşivlenen toplam dosya sayısı ( $n$ ) kaçtır?

17

19

20

21

24

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Toplam dosya sayısı 20'dir.

Doğru cevap olan 20 değeri; A arşivindeki ilk 10 dosyanın toplamı olan 55 ile bu değerden 100 fazla olan B arşivi toplamı 155 toplandığında elde edilen 210 genel toplamına tam olarak uymaktadır.

1

'den

20

'ye kadar olan sayıların toplamı

\frac{20 \times 21}{2} = 210

olduğundan eşitlik sağlanır.

Step-by-Step Solution

1

A arşivindeki dosyaların numaraları toplamını (

X

) bulun.

X = 1 + 2 + \dots + 10 = \frac{10 \times 11}{2} = 55

A arşivi

1

'den

k=10

'a kadar olan dosyaları içermektedir.

2

B arşivindeki dosyaların numaraları toplamını (

Y

) hesaplayın.

Y - 55 = 100 \Rightarrow Y = 155

Soruda

Y - X = 100

olduğu verilmiştir.

3

Tüm dosyaların numaraları toplamını (

S

) belirleyin.

S = X + Y = 55 + 155 = 210

Tüm dosyalar ya A ya da B arşivinde olduğundan, toplam tüm numaraların toplamına eşittir.

4

1

'den

n

'ye kadar olan sayıların toplam formülünü kullanarak

n

'yi bulun.

\frac{n(n+1)}{2} = 210 \Rightarrow n(n+1) = 420

Ardışık tam sayıların toplamı

\frac{n(n+1)}{2}

formülü ile bulunur.

5

Denklemi sağlayan

n

tam sayısını tespit edin.

20 \times 21 = 420 \Rightarrow n = 20

420 sayısı, ardışık 20 ve 21 sayılarının çarpımıdır.

Key Concept

Ardışık tam sayıların toplamı (Gauss Yöntemi)

Hints

1

Arşivlerdeki toplamları ayrı ayrı bulmak yerine, tüm dosyaların genel toplamını bulmaya çalışın.

2

A arşivindeki toplamı (

1+2+...+10

) hesaplayın ve buna 100 ekleyerek B arşivindeki toplamı bulun.

3

Genel toplam

S = X + Y

olacaktır.

X = 55

ve

Y = 155

ise

S = 210

olur.

\frac{n(n+1)}{2} = 210

denklemini çözün.

Practice More

Benzer bir soruyu ardışık tek sayılar veya belirli bir katın ardışık sayıları (örneğin 3'ün katları) için çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Y - X = 100

ve

Y + X = S

denklemlerini taraf tarafa toplarsak

2Y = 100 + S

elde ederiz. Buradan da

n

değerine gidilebilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 10Question →

Bir kurumun arşivinde bulunan dosyalar, $x$ pozitif tam sayısından başlanarak ardışık çift tam sayılar ile numaralandırılmıştır. Dosyaların üzerindeki numaraların toplamı, bu dosyalardan en küçük ve en büyük numaralı olanların toplamının 24 katıdır.

En büyük dosya numarası 110 olduğuna göre, en küçük dosya numarası ( $x$ ) kaçtır?

14

16

18

20

22

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

En küçük dosya numarası 16'dır.

Ardışık sayı dizilerinde toplam, terim sayısı ile ortanca terimin çarpımına eşittir (veya terim sayısı çarpı uç değerlerin aritmetik ortalaması). Soruda toplamın, uç değerler toplamının 24 katı olduğu belirtilmiştir. Matematiksel olarak

Toplam = n \cdot \frac{a_{ilk} + a_{son}}{2}

ve verilen bilgi

Toplam = 24 \cdot (a_{ilk} + a_{son})

olduğundan, bu iki ifade eşitlendiğinde terim sayısı

n=48

olarak bulunur. Son terimi bilinen (

110

) ve 48 terimden oluşan ardışık çift sayı dizisinin ilk terimi,

a_{son} = a_{ilk} + (n-1)r

formülüyle

110 = x + (47 \cdot 2)

işleminden

x=16

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen toplam ilişkisinden terim sayısını (n) bulma

n = 48

Ardışık sayıların toplamı

T = n \cdot \frac{a_1 + a_n}{2}

formülü ile bulunur. Soruda

T = 24 \cdot (a_1 + a_n)

verildiği için,

n \cdot \frac{a_1 + a_n}{2} = 24 \cdot (a_1 + a_n)

eşitliğinden

n/2 = 24

ve buradan

n = 48

bulunur.

2

Sonlu dizi formülünü kullanarak ilk terimi (

x

) hesaplama

110 = x + (48-1) \cdot 2 \implies x = 16

Son terim formülü

a_n = a_1 + (n-1) \cdot r

şeklindedir. Burada

a_n = 110

,

n = 48

ve ardışık çift sayılar olduğu için artış miktarı

r = 2

'dir. Değerler yerine konulduğunda

110 = x + 47 \cdot 2

denklemi elde edilir.

3

Denklemi çözme

x = 110 - 94 = 16

47 \cdot 2 = 94

bulunur ve bu değer 110'dan çıkarılarak ilk terim elde edilir.

Key Concept

Ardışık Sayılar Toplam Formülü ve Terim Sayısı İlişkisi

Hints

1

Ardışık sayıların toplam formülünü hatırlayın:

\text{Terim Sayısı} \times \frac{\text{İlk Terim} + \text{Son Terim}}{2}

.

Estimated Time:2m 0s

Question 11Question →

Pozitif tam sayılar kümesindeki 3'ün katı olan sayılar ( $3, 6, 9, \dots$ ) küçükten büyüğe doğru sıralanarak aşağıdaki kurala göre gruplara ayrılıyor:

- 1. grup: $\{3\}$
- 2. grup: $\{6, 9\}$
- 3. grup: $\{12, 15, 18\}$

Her gruptaki sayı adedi grup numarasına eşittir (örneğin $n$ . grupta $n$ adet sayı bulunmaktadır). Bu kurala göre oluşturulan gruplardan birinin elemanları toplamı $12.030$ olduğuna göre, bu grup kaçıncı gruptur?

19

20

21

28

40

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Elemanları toplamı 12.030 olan grup 20. gruptur.

Soru, ardışık sayı grupları içindeki bir örüntüyü ve toplam formülünü kurmayı gerektirir. n. gruptan önce toplam n(n-1)/2 adet sayı kullanılmıştır. n. grup n adet 3'ün katı olan sayıdan oluşur. Bu grubun toplamı formülize edildiğinde S = (3/2)(n³ + n) elde edilir. Bu ifade 12.030'a eşitlendiğinde n³ + n = 8020 denklemi bulunur. 20 sayısının küpü 8000 olduğundan, n=20 değeri denklemi tam olarak sağlar.

Step-by-Step Solution

1

Grupların yapısını ve terim sayılarını analiz et.

1. grupta 1, 2. grupta 2, ..., (n-1). grupta (n-1) adet sayı vardır. n. gruptan önceki toplam terim sayısı: 1 + 2 + ... + (n-1) = n(n-1)/2'dir.

Her grubun ilk terimini bulmak için önceki gruplarda kaç terim kullanıldığını bilmemiz gerekir.

2

n. grubun ilk terimini ve terimler dizisini belirle.

Dizi 3'ün katlarıdır (3k). n. grubun ilk terimi, [n(n-1)/2 + 1]. sıradaki terimdir. Değeri: 3 * [ (n²-n)/2 + 1 ].

n. grup, önceki tüm sayıların bittiği yerden başlar.

3

n. grubun elemanları toplamı formülünü oluştur.

n. grupta n terim vardır. Bu bir aritmetik dizidir. Ortanca terim yaklaşık 3 * (n²/2)'dir. Kesin toplam formülü: S_n = (3n(n² + 1)) / 2.

Ardışık sayıların toplamı = Terim Sayısı * Ortanca Terim formülünden türetilir.

4

Denklemi kur ve n değerini bul.

3n(n² + 1) / 2 = 12030 => n(n² + 1) = 8020. n=20 için 20 * (400 + 1) = 8020 sağlar.

Verilen toplam değerini formüle eşitleyerek n tam sayısını buluruz.

Key Concept

Ardışık Sayı Gruplarının Toplamı

Hints

1

n. gruptan önce kaç tane sayı kullanıldığını (1'den n-1'e kadar olan sayıların toplamı) bularak n. grubun kaçıncı sayıyla başladığını hesaplayın.

2

n. grubun ilk terimini bulduktan sonra, bu grubun n tane 3'ün katı olan ardışık sayıdan oluştuğunu (3k, 3(k+1)...) hatırlayın ve ardışık toplam formülünü uygulayın.

Practice More

Benzer bir mantıkla kurulan 'Ardışık tek sayıların oluşturduğu piramitte n. satırın toplamı' sorusunu inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Yaklaşık değer yöntemi: n. gruptaki sayıların ortalaması yaklaşık olarak 3 * (toplam terim sayısı) civarındadır. Toplam terim sayısı ~n²/2 olduğundan, ortalama ~3n²/2'dir. Grup toplamı = n * Ortalama ≈ 3n³/2. Buradan 12030 ≈ 1.5 n³ => n³ ≈ 8020 tahmini ile n=20 hızlıca denenebilir.

Estimated Time:3m 0s

Question 12Question →

Bir matematik yazılımı, girilen $k$ pozitif çift tam sayısından başlayarak $n$ tane ardışık çift tam sayıyı toplamakta ve sonucu ekrana yansıtmaktadır. Yazılıma aynı $k$ değeri girilip terim sayısı $n+3$ olarak ayarlandığında, hesaplanan toplamın ilk duruma göre $192$ arttığı görülmüştür. Buna göre, yazılımın ilk durumda topladığı sayı dizisinin en büyük elemanı kaçtır?

58

60

62

64

66

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

İlk dizinin en büyük elemanı 60'tır.

Verilen iki durum arasındaki fark denklemi kurulduğunda

2n + k = 62

eşitliği elde edilir. İlk dizinin en büyük elemanı (son terim),

k + (n-1)2

formülü ile bulunur. Bu ifade

k + 2n - 2

şeklinde düzenlenip elde edilen eşitlik yerine yazıldığında sonuç

62 - 2 = 60

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

İlk durumdaki toplamı (

S_1

) formüle dök.

S_1 = \frac{n}{2}(2k + (n-1)2) = n(k + n - 1)

Ardışık çift sayıların toplam formülü:

\frac{\text{Terim Sayısı}}{2}(\text{İlk} + \text{Son})

veya

\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)

.

2

İkinci durumdaki toplamı (

S_2

) formüle dök (

n+3

terim için).

S_2 = \frac{n+3}{2}(2k + (n+3-1)2) = (n+3)(k + n + 2)

Terim sayısı 3 artmıştır, başlangıç sayısı

k

aynıdır.

3

İki toplam arasındaki farkı verilen değere eşitle ve denklemi çöz.

(n+3)(k+n+2) - n(k+n-1) = 192 \implies 6n + 3k + 6 = 192 \implies 2n + k = 62

Parantezler açılıp sadeleştirme yapıldığında

nk + n^2 + 2n + 3k + 3n + 6 - nk - n^2 + n = 192

elde edilir.

4

İlk dizinin en büyük elemanını bul.

Son Terim =

k + (n-1)2 = k + 2n - 2

.

2n+k=62

olduğuna göre, Son Terim =

62 - 2 = 60

.

Ardışık dizilerde son terim

a_n = a_1 + (n-1)d

formülüyle bulunur.

Key Concept

Ardışık çift sayıların toplamı ve genel terim formülü arasındaki cebirsel ilişki.

Hints

1

Ardışık çift sayıların toplam formülünü hatırlayın: Terim Sayısı

\times

Ortanca Terim veya

\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)

.

Practice More

Ardışık tek sayılar için benzer bir fark problemi çözerek

(n)^2

kuralını pekiştirin.

Estimated Time:2m 30s

Question 13Question →

Bir kamu kurumunun arşiv biriminde dosyalar, $1$ 'den başlayarak $n$ 'ye kadar ardışık tam sayılarla numaralandırılmıştır. Yapılan bir denetim sırasında, dosyalardan birinin kaybolduğu tespit edilmiştir. Mevcut (kalan) dosyaların numaralarının aritmetik ortalaması $31,2$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, kaybolan dosyanın numarası aşağıdakilerden hangisidir?

12

19

31

41

61

Show answer & explanation

Answer: 19

Answer

Kaybolan dosyanın numarası 19'dur.

Bu soruda iki bilinmeyen (

n

ve kayıp sayı

k

) varmış gibi görünse de, ortalamanın sınırları ve tam sayı olma şartı

n

'yi tek bir değere sabitler. 1'den

n

'ye kadar olan sayılardan biri çıkarıldığında, yeni ortalama

(A_{yeni})

, teorik ortalama olan

\frac{n+1}{2}

değerine çok yakındır. Kesin sınırlar:

\frac{n}{2} \le A_{yeni} \le \frac{n}{2} + 1

. Verilen

31,2

değeri için bu eşitsizlik

60,4 \le n \le 62,4

sonucunu verir. Ayrıca kalan dosya sayısı ile

31,2

çarpıldığında tam sayı (kalanların toplamı) elde edilmelidir.

31,2 = \frac{156}{5}

olduğundan kalan dosya sayısı 5'in katı olmalıdır. Bu aralıkta bu şartı sağlayan tek sayı

n=61

'dir. Toplam farkından kayıp sayı 19 bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kalan dosyaların ortalamasının sınırlarını kullanarak toplam dosya sayısı

n

'yi sınırla.

n

değeri

60,4

ile

62,4

arasındadır.

1'den

n

'ye kadar olan sayılardan en büyüğü (

n

) çıkarılırsa ortalama en az (

n/2

), en küçüğü (

1

) çıkarılırsa ortalama en çok (

n/2 + 1

) olur.

2

Ortalamanın kesirli kısmına bakarak

n

'nin tam sayı değerini belirle.

n = 61

olmalıdır.

Ortalama

31,2 = 156/5

olduğundan, kalan dosya sayısı (

n-1

) 5'in katı olmalıdır. Aralıktaki tam sayılardan (61, 62) sadece 61 bu şartı sağlar (

61-1=60

).

3

Toplam formülünü kullanarak kaybolan sayıyı (

k

) hesapla.

k = 1891 - 1872 = 19

.

Tüm toplam

\frac{61 \times 62}{2} = 1891

. Kalanların toplamı

60 \times 31,2 = 1872

. Fark kaybolan sayıdır.

Key Concept

Ardışık sayıların toplamı ve aritmetik ortalama sınırları arasındaki ilişki.

Hints

1

1'den n'ye kadar olan sayıların ortalaması yaklaşık n/2'dir. Verilen 31,2 ortalamasını kullanarak n için bir aralık tahmin edebilirsiniz.

2

Bir sayı çıkarıldığında ortalama en fazla 0,5 artar veya azalır. Yani n değeri 2 * 31,2 = 62,4 civarındadır.

3

Kalan dosya sayısı (n-1) ile 31,2 çarpıldığında sonuç bir tam sayı olmalıdır. 31,2 = 312/10 = 156/5 kesrini düşünün.

Alternative Method

Ortalama değişimi üzerinden çözüm: Orijinal ortalama (n+1)/2'dir. n=61 için ortalama 31'dir. Yeni ortalama 31,2 olduğuna göre artış 0,2'dir. Ortalama artışı (Çıkan Sayı Farkı / Kalan Sayı) formülüyle de ilişkilendirilebilir.

Estimated Time:4m 0s

Question 14Question →

$n$ elemanlı ardışık tek tam sayılardan oluşan bir $A$ kümesi ile $n$ elemanlı ardışık çift tam sayılardan oluşan bir $B$ kümesi veriliyor. $B$ kümesinin en küçük elemanı, $A$ kümesinin en büyük elemanından $5$ fazladır. Bu iki kümedeki tüm elemanların toplamı $1070$ ve $B$ kümesinin elemanları toplamı, $A$ kümesinin elemanları toplamından $230$ fazladır. Buna göre, $n$ kaçtır?

8

10

12

15

20

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Kümelerin her birinde bulunan eleman sayısı 10'dur.

Verilen bilgilere göre

A

kümesinin toplamı

S_A = n(a+n-1)

ve

B

kümesinin toplamı

S_B = n(b+n-1)

olarak yazılabilir.

b-a = 2n+3

ilişkisi kullanıldığında toplamlar farkı

S_B - S_A = n(2n+3)

olur.

n(2n+3) = 230

denklemini sağlayan tek pozitif tam sayı 10'dur. Ayrıca

n=10

değeri toplamın 1070 olması şartını da sağlar (

S_A=420, S_B=650

).

Step-by-Step Solution

1

A

ve

B

kümelerinin elemanlarını ve toplamlarını temsil eden değişkenleri tanımlayın.

A = \{a, a+2, \dots, a+2n-2\}

ve

B = \{b, b+2, \dots, b+2n-2\}

olsun.

Ardışık tek ve çift sayılar arasındaki fark 2 olduğu için terimler bu şekilde ifade edilir.

2

B

kümesinin en küçük elemanı ile

A

kümesinin en büyük elemanı arasındaki ilişkiyi kurun.

b = (a + 2n - 2) + 5 \Rightarrow b = a + 2n + 3

Soruda

B

'nin en küçüğünün (

b

),

A

'nın en büyüğünden (

a+2n-2

) 5 fazla olduğu belirtilmiştir.

3

Kümelerin toplamları arasındaki farkı

n

cinsinden ifade edin.

S_B - S_A = n \times (b - a) = n \times (a + 2n + 3 - a) = n(2n + 3)

Terim sayıları aynı olan iki aritmetik dizinin toplamları farkı, karşılıklı terimlerin farklarının toplamına eşittir.

4

n(2n + 3) = 230

denklemini çözün.

2n^2 + 3n - 230 = 0 \Rightarrow (2n + 23)(n - 10) = 0 \Rightarrow n = 10

Eleman sayısı negatif olamayacağı için

n=10

kökü seçilir.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı ve toplam formülleri arasındaki ilişkinin cebirsel yöntemlerle çözülmesi.

Question 15Question →

Bir inşaat ustası, her basamağında bir önceki basamaktan $1$ adet fazla tuğla kullanarak $10$ basamaklı bir merdiven yapacaktır. İlk (en üst) basamakta $1$ tuğla kullandığına göre, merdivenin tamamı için toplam kaç tuğla kullanılmıştır?

45

55

100

110

Show answer & explanation

Answer: 55

Answer

Merdiven için toplamda 55 adet tuğla kullanılmıştır.

Doğru cevap olan 55 değeri, ardışık tam sayıların toplam formülü olan

n(n+1)/2

ifadesinde

n=10

yazılarak elde edilir. Bu durum, merdiven basamaklarındaki tuğla sayılarının toplamını (

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

) tam olarak karşılamaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Problemin matematiksel modelini kurma

1 + 2 + 3 + \dots + 10

Her basamakta bir öncekinden 1 fazla tuğla kullanıldığı ve 10 basamak olduğu için toplam tuğla sayısı 1'den 10'a kadar olan sayıların toplamıdır.

2

Gauss toplam formülünü uygulama

\frac{10 \times (10 + 1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2}

1'den n'ye kadar olan ardışık tam sayıların toplamı

\frac{n(n+1)}{2}

formülü ile pratik şekilde hesaplanır.

3

İşlemi sonuçlandırma

5 \times 11 = 55

Sadeleştirme ve çarpma işlemleri yapılarak toplam tuğla sayısı bulunur.

Key Concept

Ardışık tam sayıların toplamı (Gauss Toplamı)

Hints

1

Bu bir ardışık sayı toplamı problemidir.

1

'den başlayarak her adımda

1

artan sayıları toplamanız gerekiyor.

2

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

işlemini tek tek toplamak yerine bir formül kullanabilirsiniz.

3

1

'den

n

'ye kadar olan sayıların toplamı için kullanılan

\frac{n(n+1)}{2}

formülünde

n

yerine

10

koyun.

Practice More

Eğer ilk basamakta 1 yerine 2 tuğla olsaydı ve ardışık çift sayılar şeklinde devam etseydi toplam nasıl değişirdi?

Alternative Method

Sayıları baştan ve sondan eşleştirerek de toplayabilirsiniz: (1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6). Her bir parantezin içi 11 olur ve toplamda 5 adet 11 elde edilir.

5 \times 11 = 55

bulunur.

Estimated Time:45s

Question 16Question →

$1$ ’den $n$ ’ye kadar olan ardışık tam sayıların toplamı $X$ , $1$ ’den $n-2$ ’ye kadar olan ardışık tam sayıların toplamı $Y$ ’dir.

X - Y = 37

olduğuna göre, $n$ değeri kaçtır?

17

18

19

20

37

Show answer & explanation

Answer: 19

Answer

Verilen toplamlar arasındaki fark incelendiğinde

n

değerinin 19 olduğu görülür.

1

'den

n

'ye kadar olan sayıların toplamı (

X

) ile

1

'den

n-2

'ye kadar olan sayıların toplamı (

Y

) arasındaki fark,

X

toplamında olup

Y

toplamında olmayan terimlerin toplamıdır. Bu terimler

n

ve

n-1

sayılarıdır. Dolayısıyla

n + (n-1) = 37

eşitliğinden

2n = 38

ve

n = 19

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

X

ve

Y

toplamlarını açık bir şekilde yazın.

X = 1 + 2 + \dots + (n-2) + (n-1) + n

ve

Y = 1 + 2 + \dots + (n-2)

Hangi terimlerin ortak olduğunu ve hangilerinin farkı oluşturduğunu görmek için.

2

X - Y

farkını hesaplayın.

X - Y = (1 + \dots + n) - (1 + \dots + n-2) = (n-1) + n

Y

toplamındaki tüm terimler

X

içinde de yer aldığı için çıkarma işleminde birbirini götürür; geriye sadece

X

toplamındaki son iki terim kalır.

3

n

değerini bulmak için elde edilen denklemi çözün.

(n-1) + n = 37 \Rightarrow 2n - 1 = 37 \Rightarrow 2n = 38 \Rightarrow n = 19

Sözel olarak ifade edilen ilişkiyi matematiksel bir denkleme dökerek bilinmeyeni bulmak için.

Key Concept

Ardışık sayı toplamları arasındaki fark, ortak olmayan terimlerin toplamına eşittir.

Hints

1

X

toplamını

1 + 2 + \dots + (n-2) + (n-1) + n

şeklinde yazmayı deneyin.

2

X

ve

Y

arasındaki farkın hangi terimlerden kaynaklandığını belirleyin. Bu fark

n

ve

n-1

terimleridir.

3

n + (n-1) = 37

denklemini kurun ve

n

için çözün.

Practice More

Ardışık tek ve çift sayıların toplam formülleri ile ilgili benzer fark sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Gauss toplam formülünü kullanarak

X = \frac{n(n+1)}{2}

ve

Y = \frac{(n-2)(n-1)}{2}

yazabilirsiniz. Ardından

\frac{n(n+1) - (n-2)(n-1)}{2} = 37

denklemini sadeleştirerek

2n - 1 = 37

sonucuna ulaşabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 17Question →

Küçükten büyüğe doğru sıralanmış $n$ tane ardışık çift tam sayıdan oluşan bir sayı dizisinde; en büyük 3 terimin toplamı, en küçük 3 terimin toplamından 78 fazladır. Bu sayı dizisinin tüm terimlerinin toplamı 400 olduğuna göre, dizinin en büyük terimi kaçtır?

36

38

40

42

44

Show answer & explanation

Answer: 40

Answer

Dizinin en büyük terimi 40'tır.

Soruda verilen 'son 3 terim ve ilk 3 terim farkı' ilişkisinden dizinin eleman sayısı (

n=16

) bulunur. Daha sonra ardışık sayılar toplam formülü ve terimler arası artış miktarı kullanılarak kurulan denklem sisteminin çözümünden en büyük terim 40 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Dizinin terimlerini ve ilk/son 3'lü grupları genel terim cinsinden ifade et.

İlk terim

x

olsun. Terimler:

x, x+2, ..., x+2(n-1)

. En küçük 3'lü:

x, x+2, x+4

. En büyük 3'lü:

x+2n-2, x+2n-4, x+2n-6

.

Problemi çözmek için değişkenler atanmalı ve gruplar matematiksel olarak tanımlanmalıdır.

2

Verilen fark bilgisini kullanarak terim sayısı

n

'i bul.

Fark =

3x + 6n - 12 - (3x + 6) = 6n - 18

. Denklem:

6n - 18 = 78 \Rightarrow 6n = 96 \Rightarrow n = 16

.

İki grubun toplamları farkı, terim sayısına bağlı bir denklem oluşturur.

3

Toplam formülünü kullanarak ilk ve son terim arasındaki ilişkiyi bul.

Genel toplam =

\frac{n}{2}(\text{ilk} + \text{son}) = 400

.

n=16

için:

8(x + x_{son}) = 400 \Rightarrow x + x_{son} = 50

.

Ardışık sayıların toplam formülü, uç değerlerin toplamını verir.

4

Son terim ile ilk terim arasındaki ilişkiyi kullanarak denklem sistemini çöz.

x_{son} = x + (16-1) \times 2 \Rightarrow x_{son} = x + 30

. Denklemde yerine yaz:

(x_{son} - 30) + x_{son} = 50 \Rightarrow 2x_{son} = 80 \Rightarrow x_{son} = 40

.

İki bilinmeyenli iki denklemden son terim elde edilir.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde alt grupların toplamları arasındaki fark, terim sayısına bağlı doğrusal bir ilişki oluşturur.

Hints

1

En küçük terime

x

diyerek, ilk 3 terimi (

x, x+2, x+4

) ve son 3 terimi (

n

cinsinden) yazmayı dene.

2

Son üç terim ile ilk üç terim arasındaki farkı yazarken terim terim çıkarma yaparsan (

x_{son}-x_{ilk}

gibi), her bir farkın

2(n-1)

değil, grup kaymasından dolayı farklı bir sabit olduğunu göreceksin.

Practice More

Ardışık tek sayılar için benzer bir fark ve toplam sorusu çözerek örüntü mantığını pekiştirin.

Alternative Method

Simetri Yöntemi: Verilen fark 78, 3 parça terimden geliyor. Her bir karşılıklı terim farkı (büyükten küçüğe) eşittir.

(S_n - S_1) + (S_{n-1} - S_2) + (S_{n-2} - S_3) = 78

. Bu farkların her biri

2(n-3)

kadardır. Buradan

3 \times 2(n-3) = 78

diyerek

n

doğrudan bulunabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 18Question →

$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere; $1$ 'den $n$ 'ye kadar olan ardışık tam sayıların toplamı $A$ , $15$ 'ten $n$ 'ye kadar olan ardışık tam sayıların toplamı $B$ ile ifade edilmektedir.

$A + B = 1535$ olduğuna göre, $n$ değeri kaçtır?

39

40

41

42

44

Show answer & explanation

Answer: 40

Answer

Doğru cevap,

n

değerinin

40

olduğunu gösteren seçenektir.

1

'den

n

'ye kadar olan sayıların toplamı (

A

) ile

15

'ten

n

'ye kadar olanların toplamı (

B

) arasındaki fark, baştaki eksik terimlerin (

1

'den

14

'e kadar) toplamıdır. Bu fark

105

olarak bulunur. Soruda verilen

A+B=1535

eşitliği ile

A-B=105

eşitliği taraf tarafa çözüldüğünde

A=820

bulunur.

\frac{n(n+1)}{2}=820

denkleminden

n=40

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

A

ve

B

toplamlarını açık bir şekilde tanımla.

A = 1 + 2 + \dots + 14 + 15 + \dots + n

ve

B = 15 + \dots + n

Toplamlar arasındaki ilişkiyi görmek için ifadeleri açmak gerekir.

2

A

ve

B

arasındaki farkı bul.

A - B = 1 + 2 + \dots + 14

A

toplamı,

B

toplamından ilk 14 sayının toplamı kadar fazladır.

3

İlk 14 sayının toplamını hesapla.

\frac{14 \cdot 15}{2} = 105

. Yani,

A - B = 105

.

Gauss toplam formülü (

\frac{n(n+1)}{2}

) kullanılarak fark hesaplanır.

4

Elde edilen denklemleri kullanarak

A

değerini bul.

Verilen:

A + B = 1535

. Bulunan:

A - B = 105

. Taraf tarafa toplanırsa:

2A = 1640 \Rightarrow A = 820

.

İki bilinmeyenli denklem sistemi çözülerek

A

toplamına ulaşılır.

5

A = \frac{n(n+1)}{2}

formülünü kullanarak

n

'yi bul.

\frac{n(n+1)}{2} = 820 \Rightarrow n(n+1) = 1640

.

40 \cdot 41 = 1640

olduğundan

n = 40

.

Ardışık sayıların toplam formülü tersine uygulanarak son terim bulunur.

Key Concept

Sonlu Toplamlar ve Gauss Yöntemi

Hints

1

A

toplamı

1, 2, \dots, n

sayılarından,

B

toplamı ise

15, 16, \dots, n

sayılarından oluşur.

A

ve

B

arasındaki farkı bulmaya çalışın.

2

A - B

işlemi,

1

'den

14

'e kadar olan ardışık sayıların toplamına eşittir. Bu toplamı hesaplayıp elinizdeki

A + B

denklemiyle birlikte kullanın.

3

A - B = \frac{14 \cdot 15}{2} = 105

. Elinizde

A+B=1535

ve

A-B=105

var. Bu iki denklemi taraf tarafa toplayarak önce

A

'yı, sonra

n

'yi bulun.

Practice More

Benzer mantıkla, çift sayıların toplamı üzerinden kurgulanan soruları inceleyin.

Alternative Method

A

ve

B

yerine doğrudan Gauss formülleri yazılabilir:

\frac{n(n+1)}{2} + (\frac{n(n+1)}{2} - 105) = 1535

. Buradan

n(n+1) - 105 = 1535 \Rightarrow n(n+1) = 1640

elde edilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 19Question →

Ardışık $n$ tane tek tam sayı küçükten büyüğe doğru sıralanıyor. Bu sayıların ilk üçünün toplamı $A$ , son üçünün toplamı ise $B$ olarak ifade ediliyor.

B - A = 72

olduğuna göre, bu grupta toplam kaç sayı vardır?

11

13

15

17

27

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Verilen sayı grubunda toplam 15 adet sayı bulunmaktadır.

Dizideki ilk üç terimin toplamı ortadaki terim olan

a_2

'nin 3 katı, son üç terimin toplamı ise ortadaki terim olan

a_{n-1}

'in 3 katıdır.

3(a_{n-1} - a_2) = 72

eşitliğinden terimler arası farkın

24

olduğu görülür. Ardışık tek sayılar 2'şer arttığı için

a_{n-1} - a_2 = 2(n-1-2) = 2(n-3)

olur.

2(n-3) = 24

denkleminden

n=15

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Sayıları ve toplamları temsil eden ifadeleri belirleme

a_1, a_2, \dots, a_n

sayıları için

A = a_1 + a_2 + a_3

ve

B = a_{n-2} + a_{n-1} + a_n

Soruda verilen ilk üç ve son üç terimin toplamlarını matematiksel olarak ifade etmek gerekir.

2

Ardışık tek sayılarda grup toplamlarını orta terim cinsinden yazma

A = 3a_2

ve

B = 3a_{n-1}

Ardışık üç sayının toplamı, ortanca terimin 3 katına eşittir.

3

İki toplam arasındaki farkı tek bir terim farkına indirgeme

B - A = 3(a_{n-1} - a_2) = 72 \Rightarrow a_{n-1} - a_2 = 24

Verilen fark denkleminde terimler arasındaki ilişkiyi bulmak için sadeleştirme yapılır.

4

Terimler arasındaki indeks farkını ve değer farkını ilişkilendirme

a_{n-1} - a_2 = 2 \times ((n-1) - 2) = 2(n-3)

Ardışık tek sayılar ikişer ikişer artar;

k

. terim ile

j

. terim arasındaki fark

2 \times (k-j)

'dir.

5

Denklemi çözerek

n

değerini bulma

2(n-3) = 24 \Rightarrow n-3 = 12 \Rightarrow n = 15

Elde edilen fark değerini terim sayısı formülüne eşitleyerek toplam sayı adedine ulaşılır.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde belirli alt grupların toplamları arasındaki fark, dizinin artış miktarı ve terim sayısı arasındaki doğrusal ilişkiye bağlıdır.

Hints

1

Ardışık üç sayının toplamını, bu sayıların tam ortasındaki sayıyı kullanarak ifade etmeyi deneyin.

2

İlk üç sayının ortancası olan 2. terim ile son üç sayının ortancası olan

(n-1)

. terim arasındaki farkın kaç olduğunu bulun.

3

Ardışık tek sayılar 2'şer 2'şer artar. İki terim arasındaki fark, o terimlerin sıra numaraları (indeksleri) farkının 2 katıdır.

Practice More

Ardışık çift sayılarla benzer bir kurgu kurarak farkın nasıl değişeceğini analiz edebilirsiniz.

Alternative Method

Sayıları

a, a+2, a+4, \dots

şeklinde yazarak da çözebilirsiniz. İlk üç terim:

a, a+2, a+4 \Rightarrow A = 3a + 6

. Son üç terim (toplam

n

sayı varsa en sonuncusu

a + 2(n-1)

'dir):

(a + 2n - 6) + (a + 2n - 4) + (a + 2n - 2) \Rightarrow B = 3a + 6n - 12

.

B - A = (3a + 6n - 12) - (3a + 6) = 6n - 18 = 72

buradan

6n = 90

ve

n = 15

bulunur.

Estimated Time:1m 30s

Question 20Question →

$1$ 'den başlayarak ardışık tam sayılar, her grupta grup numarası kadar sayı bulunacak şekilde aşağıdaki gibi gruplara ayrılıyor:

Grup Numarası	Elemanlar
1. grup	$\{1\}$
2. grup	$\{2, 3\}$
3. grup	$\{4, 5, 6\}$
4. grup	$\{7, 8, 9, 10\}$

Bu düzen devam ettirildiğinde $14.$ grupta yer alan sayıların toplamı kaçtır?

1379

1365

1274

1470

1105

Show answer & explanation

Answer: 1379

Answer

14. grupta yer alan sayıların toplamı 1379'dur.

Doğru cevap olan 1379 değeri, 14. grubun ilk teriminin 92 ve son teriminin 105 olduğunun doğru tespit edilmesi ve bu aralıktaki 14 sayının aritmetik dizi toplam formülüyle toplanması sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

14. gruptan önce toplam kaç sayı kullanıldığını bulmak.

91

Her grupta grup numarası kadar sayı olduğu için ilk 13 grupta

1 + 2 + 3 + \dots + 13 = \frac{13 \times 14}{2} = 91

adet sayı bulunur.

2

14. grubun ilk ve son terimlerini belirlemek.

İlk: 92, Son: 105

İlk 13 grup 91 ile bittiğine göre 14. grup 92 ile başlar. 14 adet sayı barındırdığı için son terimi

92 + (14 - 1) = 105

olur.

3

Ardışık sayıların toplamı formülünü uygulamak.

1379

Terim sayısı

\times

Ortalama formülünden;

14 \times \frac{92 + 105}{2} = 7 \times 197 = 1379

bulunur.

Key Concept

Ardışık sayı gruplarında terim sayısı ve sınır değerlerin belirlenmesi.

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints