Examkin

Question

Difficulty: MediumDoğruda ve Üçgende Açılar

Bir ABCABC üçgeninde, BB ve CC köşelerine ait dış açıortaylar üçgenin dışındaki bir DD noktasında kesişmektedir. Bu dış açıortayların oluşturduğu BDC^\widehat{BDC} açısının ölçüsü, AA köşesindeki iç açının ölçüsünden 15∘15^\circ daha küçüktür.

Buna göre, ABCABC üçgeninin AA köşesindeki iç açısı kaç derecedir?

  1. A
    30
  2. B
    50
  3. C
    60
  4. 70Answer
  5. E
    75

Answer

ABC üçgeninin A köşesindeki iç açısı 70 derecedir.
Üçgende iki dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açının ölçüsü 90∘−m(A^)/290^\circ - m(\widehat{A})/2 bağıntısı ile bulunur. Soruda bu açının, AA açısının ölçüsünden 15 derece eksik olduğu ifade edilmiştir. Kurulan 90∘−m(A^)/2=m(A^)−15∘90^\circ - m(\widehat{A})/2 = m(\widehat{A}) - 15^\circ denklemi çözüldüğünde 1,5⋅m(A^)=105∘1,5 \cdot m(\widehat{A}) = 105^\circ ve buradan m(A^)=70∘m(\widehat{A}) = 70^\circ elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
AA açısının ölçüsüne bir değişken atayalım.
m(BAC^)=αm(\widehat{BAC}) = \alpha
Bilinmeyen açıyı matematiksel olarak ifade etmek için α\alpha sembolü seçildi.
2
Üçgende iki dış açıortay arasındaki açının ölçüsünü veren formülü belirleyelim.
m(BDC^)=90∘−α2m(\widehat{BDC}) = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}
Geometri kurallarına göre bir üçgende iki dış açıortayın kesişimiyle oluşan açı, tepe açısının yarısının 90 dereceden çıkarılmasıyla bulunur.
3
Soruda verilen '15 derece daha küçük' bilgisini kullanarak denklemi kuralım.
90∘−α2=α−15∘90^\circ - \frac{\alpha}{2} = \alpha - 15^\circ
Dış açıortayların oluşturduğu açının ölçüsü (90∘−α/290^\circ - \alpha/2), iç açının ölçüsünden (α\alpha) 15 eksiktir.
4
Elde edilen birinci dereceden denklemi çözelim.
90∘+15∘=α+α2  ⟹  105∘=1,5α90^\circ + 15^\circ = \alpha + \frac{\alpha}{2} \implies 105^\circ = 1,5\alpha
Bilinmeyenler bir tarafa, bilinenler diğer tarafa toplanarak denklem sadeleştirildi.
5
α\alpha değerini bulmak için bölme işlemini gerçekleştirelim.
α=105∘1,5=70∘\alpha = \frac{105^\circ}{1,5} = 70^\circ
Denklemin her iki tarafı 1,5'e bölünerek AA açısının değeri hesaplandı.

Key Concept

Üçgende Dış Açıortay Özellikleri

Hints

1
Üçgende iki dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açı ile üçüncü köşedeki iç açı arasındaki temel bağıntıyı hatırlayın.
2
DD noktasındaki açının ölçüsünü AA açısının ölçüsü cinsinden 90∘−m(A^)/290^\circ - m(\widehat{A})/2 şeklinde ifade edebilirsiniz.
3
Sorudaki sözel ilişkiyi 'Dış açı = A açısı - 15' şeklinde bir denklem olarak kurup çözüme gidin.

Practice More

Benzer bir soruyu iç açıortayların kesişmesi durumu (90∘+m(A^)/290^\circ + m(\widehat{A})/2) için çözerek kuralları pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Üçgenin dış açılarını 180∘−B180^\circ - B ve 180∘−C180^\circ - C olarak yazıp, bunların yarısını alarak BCDBCD üçgeninin iç açılar toplamından (180∘180^\circ) faydalanarak da aynı sonuca ulaşılabilir.
Estimated Time:1m 15s
Rate this question

Topics

Doğruda ve Üçgende Açılar

More questions from this topic