Examkin

Question

Difficulty: HardÜçgende Yardımcı Elemanlar

ABC bir üçgen, [AD] iç açıortaydır.

D noktası [BC] kenarı üzerinde olmak üzere; D noktasından [AB] kenarına çizilen paralel doğru, [AC] kenarını E noktasında kesmektedir.

∣AB∣=15 cm|AB| = 15 \text{ cm}
∣AC∣=10 cm|AC| = 10 \text{ cm}

Yukarıdaki verilere göre, ∣AE∣|AE| uzunluğu kaç cm'dir?

  1. A
    4
  2. B
    5
  3. 6Answer
  4. D
    7,5
  5. E
    9

Answer

6 cm
Doğru cevap, açıortay ve paralellikten doğan ikizkenar üçgenin (∣AE∣=∣DE∣|AE|=|DE|) fark edilmesi ve ardından Temel Benzerlik Teoremi'nin uygulanmasıyla 15(10−x)=10x15(10-x)=10x denkleminden 6 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Açıortay ve paralellik özelliklerini kullanarak açıları incele.
[AD] açıortay olduğundan m(BAD^)=m(DAC^)=αm(\widehat{BAD}) = m(\widehat{DAC}) = \alpha diyelim. [DE]//[AB][DE] // [AB] olduğundan, iç ters açılar (Z kuralı) gereği m(ADE^)=m(BAD^)=αm(\widehat{ADE}) = m(\widehat{BAD}) = \alpha olur.
Geometrik şekil üzerindeki gizli ikizkenar üçgeni ortaya çıkarmak için açı takibi gerekir.
2
Oluşan ikizkenar üçgeni belirle.
△ADE\triangle ADE üçgeninde m(DAE^)=m(ADE^)=αm(\widehat{DAE}) = m(\widehat{ADE}) = \alpha olduğundan, bu üçgen ikizkenardır ve ∣AE∣=∣DE∣=x|AE| = |DE| = x diyebiliriz.
Bilinmeyen kenar uzunluklarını birbiri cinsinden ifade etmek çözümü basitleştirir.
3
Temel Orantı (Thales) Teoremini uygula.
△CDE∼△CBA\triangle CDE \sim \triangle CBA benzerliğinden (veya Thales teoreminden): ∣CE∣∣CA∣=∣DE∣∣AB∣\frac{|CE|}{|CA|} = \frac{|DE|}{|AB|} yazılır. ∣CE∣=10−x|CE| = 10 - x ve ∣CA∣=10|CA| = 10 olduğu için denklem kurulur.
Paralellik verilen sorularda kenar uzunluklarını bulmak için benzerlik oranı kullanılır.
4
Denklemi çöz.
10−x10=x15\frac{10 - x}{10} = \frac{x}{15} 15(10−x)=10x⇒150−15x=10x⇒25x=150⇒x=615(10 - x) = 10x \Rightarrow 150 - 15x = 10x \Rightarrow 25x = 150 \Rightarrow x = 6 cm.
Kurulan matematiksel modelin çözümü istenen uzunluğu verir.

Key Concept

Açıortay doğrusuna paralel çizilen yardımcı doğrular, 'Z kuralı' sayesinde ikizkenar üçgenler oluşturur.

Hints

1
Paralel doğrularda açılar arasındaki ilişkiyi (Z kuralı) hatırlayın ve açıortay ile birleştirin.
2
m(ADE^)m(\widehat{ADE}) açısı ile m(DAB^)m(\widehat{DAB}) açısı eşittir. Bu durum △ADE\triangle ADE üçgeni hakkında ne söyler?
3
△ADE\triangle ADE ikizkenar üçgendir, yani ∣AE∣=∣DE∣=x|AE| = |DE| = x diyebilirsiniz. Şimdi △CDE∼△CBA\triangle CDE \sim \triangle CBA benzerliğini kurun.

Practice More

Benzer mantıkla, dış açıortay ve paralellik içeren sorular çözerek 'dış Z kuralı' pratiği yapabilirsiniz.

Alternative Method

Formül Yöntemi: Bu özel kalıp (açıortay + paralel kesen) için harmonik ortalamaya benzer şu bağıntı türetilebilir: x=b⋅cb+cx = \frac{b \cdot c}{b + c}. Burada x=∣AE∣x=|AE|, b=∣AC∣=10b=|AC|=10, c=∣AB∣=15c=|AB|=15. x=10⋅1510+15=15025=6x = \frac{10 \cdot 15}{10 + 15} = \frac{150}{25} = 6.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Üçgende Yardımcı Elemanlar

More questions from this topic