Examkin

Question

Difficulty: HardKarışım Problemleri

Şeker oranı %40 olan A karışımından xx gram ve şeker oranı %20 olan B karışımından yy gram alınarak bir kapta karıştırılıyor. Oluşan bu yeni karışımın şeker oranı %32 olarak ölçülüyor. Eğer A karışımından alınan miktar 20 gram daha az olsaydı ve B karışımından alınan miktar değiştirilmeseydi, elde edilecek karışımın şeker oranı %28 olacaktı. Buna göre, başlangıçta A karışımından alınan xx miktarı kaç gramdır?

  1. A
    24
  2. B
    30
  3. 36Answer
  4. D
    48
  5. E
    60

Answer

Başlangıçta A karışımından alınan miktar 36 gramdır.
Verilen iki farklı karışım durumu için iki ayrı denklem kurulup sistem çözüldüğünde, xx değeri 36 olarak bulunur. İlk durumda oranlar kullanılarak xx ve yy arasında 2x=3y2x=3y ilişkisi bulunur. İkinci durumda ise bu ilişki kullanılarak bilinmeyen miktar hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
İlk durum için karışım formülünü kullanarak xx ve yy arasındaki oranı belirle.
40x+20yx+y=32⇒40x+20y=32x+32y⇒8x=12y⇒2x=3y\frac{40x + 20y}{x+y} = 32 \Rightarrow 40x + 20y = 32x + 32y \Rightarrow 8x = 12y \Rightarrow 2x = 3y (Buradan y=2x3y = \frac{2x}{3} bulunur).
Karışım problemlerinde (Miktar ×\times Yüzde) toplamı, toplam miktarın yüzdesine eşittir.
2
İkinci durum için (A'dan 20g eksik alındığında) yeni denklemi kur.
40(x−20)+20y(x−20)+y=28\frac{40(x-20) + 20y}{(x-20)+y} = 28.
Miktar değişimini hem paya (çözünen madde) hem de paydaya (toplam madde) yansıtmak gerekir.
3
İkinci denklemi düzenleyerek xx ve yy arasında ikinci bir bağıntı bul.
40(x−20)+20y=28(x−20+y)⇒40x−800+20y=28x−560+28y⇒12x−8y=24040(x-20) + 20y = 28(x-20+y) \Rightarrow 40x - 800 + 20y = 28x - 560 + 28y \Rightarrow 12x - 8y = 240 (Her tarafı 4'e bölelim: 3x−2y=603x - 2y = 60).
Denklemi sadeleştirerek çözümü kolaylaştırırız.
4
Birinci adımda bulunan yy değerini (y=2x3y = \frac{2x}{3}) ikinci denklemde yerine yazarak xx'i bul.
3x−2(2x3)=60⇒3x−4x3=60⇒9x−4x3=60⇒5x3=60⇒5x=180⇒x=363x - 2(\frac{2x}{3}) = 60 \Rightarrow 3x - \frac{4x}{3} = 60 \Rightarrow \frac{9x-4x}{3} = 60 \Rightarrow \frac{5x}{3} = 60 \Rightarrow 5x = 180 \Rightarrow x = 36.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözme.

Key Concept

Karışım problemleri genellikle madde miktarı ve konsantrasyonun çarpımlarının korunumuna dayanır: M1⋅%1+M2⋅%2=Mtoplam⋅%sonM_1 \cdot \%_1 + M_2 \cdot \%_2 = M_{toplam} \cdot \%_{son}.

Hints

1
Karışım problemlerinde temel formül: (Madde 1 Miktarı × %1) + (Madde 2 Miktarı × %2) = (Toplam Miktar × Son %).
2
İlk durum için xx ve yy arasında bir oran bulmalısın. %40 ve %20 karıştırılıp %32 elde ediliyorsa, hangi maddeden daha fazla kullanılmıştır?
3
İlk denklemden 2x=3y2x = 3y bulacaksın. İkinci durumu yazarken A'nın miktarının (x−20)(x-20) olduğunu unutma ve iki denklemi ortak çöz.

Practice More

Karışımdan belli bir miktar dökülüp yerine saf su veya saf madde eklenen soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Çapraz (Terazi) Yöntemi ile Çözüm:

1. Durum: %40 ve %20 karıştırılıp %32 elde edilmiş.
Farklar: ∣40−32∣=8|40-32|=8 ve ∣32−20∣=12|32-20|=12.
Bu farklar ters orantılıdır: xy=128=32\frac{x}{y} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}. Yani 2x=3y2x = 3y.

2. Durum: %40 ve %20 karıştırılıp %28 elde edilmiş.
Farklar: ∣40−28∣=12|40-28|=12 ve ∣28−20∣=8|28-20|=8.
Oran: x−20y=812=23\frac{x-20}{y} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}. Yani 3(x−20)=2y3(x-20) = 2y.

Sistem: y=2x3y = \frac{2x}{3} ve 2y=3x−602y = 3x-60. Yerine koyarsak x=36x=36 çıkar.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Karışım Problemleri

More questions from this topic