Examkin

Question

Difficulty: Very hardÜçgende Benzerlik

Bir ABCABC üçgeninde, DD noktası [AC][AC] kenarı üzerinde, EE noktası ise [BC][BC] kenarı üzerindedir. [AE][AE] ve [BD][BD] doğru parçaları FF noktasında kesişmektedir.

∣AD∣=2∣DC∣|AD| = 2|DC|
∣BF∣=12 cm|BF| = 12 \text{ cm}
∣FD∣=3 cm|FD| = 3 \text{ cm}

olduğuna göre, ∣BE∣∣EC∣\frac{|BE|}{|EC|} oranı kaçtır?

  1. A
    2
  2. B
    52\frac{5}{2}
  3. 83\frac{8}{3}Answer
  4. D
    3
  5. E
    4

Answer

83\frac{8}{3}
Soruyu çözmek için 'yardımcı doğru' (ek çizim) tekniği kullanılmalıdır. D noktasından tabana paralel çizildiğinde, hem temel benzerlik (Thales) hem de kelebek benzerliği oluşur. Bu iki benzerlik sisteminden elde edilen denklemlerin ortak çözümü 83\frac{8}{3} oranını verir.

Step-by-Step Solution

1
D noktasından [BC] kenarına paralel olacak şekilde bir [DK] doğru parçası çizin (K noktası [AE] üzerinde).
Bu yardımcı doğru, hem Temel Benzerlik Teoremi'ni hem de Kelebek (Kum Saati) benzerliğini kullanmamızı sağlar.
Verilen oranları birbirine bağlamak için ek bir çizim gereklidir.
2
△ADK\triangle ADK ile △ACE\triangle ACE arasındaki temel benzerlik oranını yazın.
∣AD∣∣AC∣=2k3k=23\frac{|AD|}{|AC|} = \frac{2k}{3k} = \frac{2}{3} olduğundan, ∣DK∣=23∣EC∣|DK| = \frac{2}{3} |EC| bulunur.
Paralel doğrularda kenar oranları korunur (Temel Orantı Teoremi).
3
△FDK\triangle FDK ile △FBE\triangle FBE arasındaki kelebek (kum saati) benzerliğini kullanın.
∣FD∣∣FB∣=312=14\frac{|FD|}{|FB|} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} olduğundan, ∣DK∣=14∣BE∣|DK| = \frac{1}{4} |BE| bulunur.
Paralel doğrularda oluşan ters açılar (Z kuralı) nedeniyle üçgenler benzerdir.
4
Bulunan iki ∣DK∣|DK| ifadesini eşitleyerek ∣BE∣|BE| ile ∣EC∣|EC| arasındaki oranı hesaplayın.
23∣EC∣=14∣BE∣  ⟹  8∣EC∣=3∣BE∣  ⟹  ∣BE∣∣EC∣=83\frac{2}{3}|EC| = \frac{1}{4}|BE| \implies 8|EC| = 3|BE| \implies \frac{|BE|}{|EC|} = \frac{8}{3}
Aynı uzunluk (DK) üzerinden iki bilinmeyen arasında bağ kurulur.

Key Concept

İleri Düzey Benzerlik Uygulamaları (Yardımcı Doğru Çizimi)

Hints

1
Soruda doğrudan bir benzerlik göremiyorsanız, D noktasından [BC] kenarına paralel bir doğru çizmeyi deneyin.
2
Çizdiğiniz paralel doğru sayesinde önce Temel Orantı Teoremini, sonra da oluşan 'Kelebek' (Kum Saati) benzerliğini kullanabilirsiniz.
3
D'den çizilen paralel [AE]'yi kessin. Oluşan küçük parça hem 2/3 oranında [EC]'ye, hem de 1/4 oranında [BE]'ye bağlıdır. Bu iki eşitliği birleştirin.

Practice More

Benzer bir kurguda alan oranlarının sorulduğu soruları inceleyiniz.

Alternative Method

Menelaus Teoremi: ADCADC üçgeni ve B−F−DB-F-D keseni yerine, AECAEC üçgeni üzerinde uygun Menelaus veya C−B−DC-B-D noktaları üzerinde A−F−EA-F-E keseni ile çözüm yapılabilir: ∣CE∣∣EB∣⋅∣BF∣∣FD∣⋅∣DA∣∣AC∣=1\frac{|CE|}{|EB|} \cdot \frac{|BF|}{|FD|} \cdot \frac{|DA|}{|AC|} = 1 formülü uygulanabilir (Dikkat: Oranların yönüne çok dikkat edilmelidir).
Estimated Time:4m 0s
Rate this question

Topics

Üçgende Benzerlik

More questions from this topic