Examkin

Question

Difficulty: Very hardAlt Küme

A={1,2,3,…,9}A = \{1, 2, 3, \dots, 9\} kümesi veriliyor.

AA kümesinin boş olmayan her KK alt kümesi için, KK kümesinin en küçük elemanı m(K)m(K), en büyük elemanı M(K)M(K) ile gösteriliyor. Tek elemanlı kümeler için m(K)=M(K)m(K) = M(K) olduğu kabul edilmektedir.

Buna göre, m(K)+M(K)=10m(K) + M(K) = 10 eşitliğini sağlayan kaç farklı KK alt kümesi vardır?

  1. A
    85
  2. B
    160
  3. C
    170
  4. 171Answer
  5. E
    256

Answer

Şartı sağlayan 171 farklı alt küme vardır
İstenen şart m(K)+M(K)=10m(K) + M(K) = 10 olmasıdır. Bu şartı sağlayan olası (min, max) çiftleri: (1,9),(2,8),(3,7),(4,6)(1,9), (2,8), (3,7), (4,6) ve tek elemanlı küme durumunda (5)(5)'tir. Her durum için, seçilen min ve max değerleri sabit tutulup, bu iki değerin sayı doğrusunda 'arasında' kalan elemanların oluşturabileceği tüm alt kümeler hesaplanır. Aradaki eleman sayısı nn ise, bu durum için 2n2^n alt küme vardır. (1,9)(1,9) için 27=1282^7=128, (2,8)(2,8) için 25=322^5=32, (3,7)(3,7) için 23=82^3=8, (4,6)(4,6) için 21=22^1=2 ve {5}\{5\} için 1 durum oluşur. Toplam: 128+32+8+2+1=171128+32+8+2+1=171.

Step-by-Step Solution

1
Koşulu sağlayan uç değer (min, max) çiftlerini belirle
Çiftler: (1,9), (2,8), (3,7), (4,6) ve tek eleman (5,5)
Toplamı 10 olan en küçük ve en büyük eleman adaylarını tespit etmek gerekir.
2
(1,9) durumu için alt küme sayısını hesapla
Ara elemanlar {2,3,4,5,6,7,8} (7 eleman). Alt küme sayısı = 27=1282^7 = 128
1 ve 9 kesinlikle kümede olmalı, aradaki elemanlar seçilebilir veya seçilmeyebilir.
3
(2,8) durumu için alt küme sayısını hesapla
Ara elemanlar {3,4,5,6,7} (5 eleman). Alt küme sayısı = 25=322^5 = 32
2 ve 8 kesinlikle kümede, 1 ve 9 kesinlikle yok. Aradakiler serbest.
4
(3,7) durumu için alt küme sayısını hesapla
Ara elemanlar {4,5,6} (3 eleman). Alt küme sayısı = 23=82^3 = 8
Benzer mantıkla sadece 4, 5, 6 arasından seçim yapılabilir.
5
(4,6) ve (5) durumlarını hesapla
(4,6) için 21=22^1=2, {5} için 1 durum.
(4,6) arasında sadece 5 var. {5} tek başına m(K)=5, M(K)=5 toplam 10 sağlar.
6
Tüm durumları topla
128 + 32 + 8 + 2 + 1 = 171
Ayrık durumların toplamı toplam küme sayısını verir.

Key Concept

Alt küme oluşturma ve sınır değer analizi

Hints

1
En küçük ve en büyük elemanların toplamı 10 olan sayı ikililerini (veya tek sayıları) listeleyerek başlayın.
2
Örneğin en küçük eleman 1, en büyük eleman 9 ise; 1 ve 9 mutlaka kümede olmalı, 1 ile 9 arasındaki sayılar (2,3...8) ise isteğe bağlı seçilebilir.

Practice More

Toplamı 10 yerine tek sayı olan (örn. 9) benzer bir soru çözerek tek elemanlı küme durumunun nasıl elendiğini inceleyin.

Alternative Method

Simetri özelliğinden faydalanılabilir: Toplamı 10 olan çiftlerin simetrisi üzerinden gidilerek örüntü (güç serisi) fark edilebilir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Alt Küme

More questions from this topic