Examkin

Question

Difficulty: MediumAlt Küme

A={x∣∣x−2∣≤3, x∈Z}A = \{x \mid |x - 2| \leq 3, \ x \in \mathbb{Z}\} kümesi veriliyor. Buna göre, AA kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde 00 eleman olarak bulunur, ancak 44 eleman olarak bulunmaz?

  1. A
    16
  2. 32Answer
  3. C
    64
  4. D
    128
  5. E
    8

Answer

Kümenin 7 elemanından 2 tanesi sabitlendiği için kalan 5 elemanla oluşturulan 32 alt küme doğru cevaptır.
Verilen eşitsizlik çözüldüğünde kümenin 7 tam sayı elemanından oluştuğu görülür. Alt kümelerde bir elemanın bulunması veya bulunmaması istenmesi, o elemanın seçim hakkının olmaması (durumunun sabitlenmesi) anlamına gelir. Bu nedenle serbest olan 5 eleman için 2^5 = 32 farklı durum oluşur.

Step-by-Step Solution

1
Mutlak değerli eşitsizliği çözerek A kümesinin elemanlarını belirlemek.
∣x−2∣≤3⇒−3≤x−2≤3|x - 2| \leq 3 \Rightarrow -3 \leq x - 2 \leq 3 ve buradan −1≤x≤5-1 \leq x \leq 5 bulunur. A={−1,0,1,2,3,4,5}A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}.
Alt küme hesaplaması yapabilmek için önce kümenin eleman sayısını ve elemanlarını bilmemiz gerekir.
2
Kısıtlamalara göre seçime dahil edilecek eleman sayısını belirlemek.
00 elemanı mutlaka bulunacak, 44 elemanı ise mutlaka bulunmayacaktır. s(A)=7s(A) = 7 olup bu 2 eleman dışındaki eleman sayısı 7−2=57 - 2 = 5 olur.
Belirli elemanların bulunması veya bulunmaması istendiğinde, bu elemanlar kümeden ayrılarak kalan elemanlarla seçim yapılır.
3
Alt küme formülünü uygulamak.
25=322^5 = 32.
nn elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n2^n formülü ile bulunur.

Key Concept

Bir kümenin belirli elemanlarını içeren veya içermeyen alt küme sayısı hesaplanırken, kısıtlamaya tabi olan elemanlar kümeden çıkarılır ve kalan elemanlarla 2^n formülü uygulanır.

Hints

1
Önce mutlak değerli eşitsizliği çözerek kümenin elemanlarını listeleyin.
2
0'ın bulunduğu ve 4'ün bulunmadığı alt kümeleri bulmak için bu iki elemanı kümeden ayırıp kalanlarla kaç alt küme yazılabileceğine bakın.
3
7 elemanlı bir kümede 2 eleman sabitlendiğine göre, geriye kalan 5 elemanla 252^5 hesaplaması yapmalısınız.

Practice More

Benzer bir mantıkla 'en az bir negatif eleman içeren' alt küme sayısını hesaplamayı deneyebilirsiniz.
Estimated Time:1m 15s
Rate this question

Topics

Alt Küme

More questions from this topic