Examkin

Question

Difficulty: Very hardKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

EE evrensel kümesinin alt kümeleri olan AA ve BB kümeleri için aşağıdaki eşitlikler ve bilgiler verilmiştir:

* s(E)=44s(E) = 44
* s((A∪B)′)=4s((A \cup B)') = 4
* 3⋅s(A∖B)=4⋅s(B∖A)3 \cdot s(A \setminus B) = 4 \cdot s(B \setminus A)
* s(A∩B)s(A \cap B) değeri bir asal sayıdır.

Buna göre, s(A)s(A) değerinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

  1. A
    25
  2. B
    29
  3. 31Answer
  4. D
    33
  5. E
    37

Answer

A kümesinin eleman sayısının alabileceği en büyük değer 31'dir.
Verilen oranlardan fark kümelerine 4k ve 3k dedikten sonra evrensel küme denklemi 7k + p = 40 halini alır. p'nin asal sayı olma şartını sağlayan k değerleri 3 ve 5'tir. Bu değerler yerine konduğunda s(A) sırasıyla 31 ve 25 bulunur. En büyük değer istendiği için doğru cevap 31'dir.

Step-by-Step Solution

1
Verilenleri Venn şeması mantığıyla değişkenlere dök
s(A∖B)=4ks(A \setminus B) = 4k, s(B∖A)=3ks(B \setminus A) = 3k ve s(A∩B)=ps(A \cap B) = p (asal sayı) olsun.
Oran orantı verildiğinde katsayıları çapraz eşleyerek tek değişken (k) kullanmak işlemi kolaylaştırır.
2
Evrensel küme denklemini kur
s(A∪B)+s((A∪B)′)=s(E)s(A \cup B) + s((A \cup B)') = s(E) olduğundan, (4k+p+3k)+4=44(4k + p + 3k) + 4 = 44 elde edilir.
Birleşim kümesi, farklar ve kesişimin toplamıdır. Tümleyen ile toplanınca evrensel kümeyi verir.
3
Denklemi sadeleştir ve p'yi k cinsinden ifade et
7k+p+4=44⇒7k+p=40⇒p=40−7k7k + p + 4 = 44 \Rightarrow 7k + p = 40 \Rightarrow p = 40 - 7k
Asal sayı analizi yapabilmek için p'yi yalnız bırakmak gerekir.
4
k değerlerini deneyerek p'nin asal olup olmadığını kontrol et
k=1 için p=33 (asal değil); k=2 için p=26 (asal değil); k=3 için p=19 (ASAL); k=4 için p=12 (asal değil); k=5 için p=5 (ASAL); k=6 ve sonrası için p negatif olur.
p sayısının asal sayı olma şartı (2, 3, 5, 7, 11...) problemin kısıtlayıcı faktörüdür.
5
Geçerli durumlarda s(A) değerini hesapla ve en büyüğünü bul
s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)=4k+ps(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 4k + p. Durum 1 (k=3, p=19): 4(3)+19=314(3)+19 = 31. Durum 2 (k=5, p=5): 4(5)+5=254(5)+5 = 25. En büyük değer 31'dir.
A kümesi, sadece A'da olanlar (4k) ile kesişimin (p) toplamıdır.

Key Concept

Kümelerde Eleman Sayısı Problemleri ve Asal Sayı Analizi
Rate this question

Topics

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

More questions from this topic