Examkin

Question

Difficulty: Very hardAsal Sayılar
a,ba, b ve cc birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere,
a⋅(b+c)=154 a \cdot (b + c) = 154

eşitliği veriliyor.
Buna göre, a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
  1. A
    399
  2. B
    462
  3. C
    539
  4. 595Answer
  5. E
    847

Answer

Doğru cevap 595'tir.
Verilen eşitlikte aa'nın 154'ün asal çarpanlarından biri (2, 7, 11) olması gerekir. a=2a=2 için b+c=77b+c=77 (tek) olması gerektiğinden bb veya cc'den biri 2 olmalıdır, ancak a=2a=2 olduğu için bu 'farklılık' şartına uymaz. a=11a=11 için b+c=14b+c=14 olur; olası çiftler (3,11) ve (7,7) de farklılık şartına uymaz. a=7a=7 için b+c=22b+c=22 olur ve (5,17) ikilisi şartları sağlar. Bu durumda çarpım 7⋅5⋅17=5957 \cdot 5 \cdot 17 = 595 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliği analiz et ve aa'nın olası değerlerini belirle.
aa bir asal sayı ve 154'ün çarpanı olmalıdır. 154=2⋅7⋅11154 = 2 \cdot 7 \cdot 11 olduğundan a∈{2,7,11}a \in \{2, 7, 11\} olabilir.
Çarpım sonucunun bir tam sayı olması için çarpanların, sonucun bölenleri olması gerekir.
2
a=2a = 2 durumunu incele.
2⋅(b+c)=154  ⟹  b+c=772 \cdot (b + c) = 154 \implies b + c = 77. bb ve cc asal sayı olduğundan, toplamları tek sayı (77) ise biri mutlaka çift (2) olmalıdır. Ancak a=2a=2 olduğundan ve sayılar birbirinden farklı olduğundan bb veya cc 2 olamaz. Bu durumda çözüm yoktur.
Asal sayılarda teklik-çiftlik (parite) kontrolü.
3
a=11a = 11 durumunu incele.
11⋅(b+c)=154  ⟹  b+c=1411 \cdot (b + c) = 154 \implies b + c = 14. Toplamı 14 olan asal sayı ikilileri: (3, 11) ve (7, 7). Ancak a=11a=11 olduğundan (3, 11) seçilemez (c≠ac \neq a). (7, 7) ise b≠cb \neq c şartını sağlamaz. Bu durumda da çözüm yoktur.
Verilen 'birbirinden farklı' şartının kontrolü.
4
a=7a = 7 durumunu incele ve olası (b,c)(b, c) ikililerini bul.
7⋅(b+c)=154  ⟹  b+c=227 \cdot (b + c) = 154 \implies b + c = 22. Toplamı 22 olan asal sayı ikilileri: (3,19)(3, 19) ve (5,17)(5, 17). (11,11)(11, 11) farklılık şartını sağlamaz.
Olası tüm asal sayı çiftlerini listeleme.
5
Bulunan ikililer için a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımını hesapla ve en büyüğünü seç.
Durum 1: {7,3,19}  ⟹  7⋅3⋅19=399\{7, 3, 19\} \implies 7 \cdot 3 \cdot 19 = 399. Durum 2: {7,5,17}  ⟹  7⋅5⋅17=595\{7, 5, 17\} \implies 7 \cdot 5 \cdot 17 = 595. En büyük değer 595'tir.
Maksimum değeri bulma.

Key Concept

Asal sayıların parite (teklik-çiftlik) özellikleri ve çarpan analizi

Hints

1
154 sayısını asal çarpanlarına ayırarak aa sayısının alabileceği olası değerleri belirleyiniz (154=2⋅7⋅11154 = 2 \cdot 7 \cdot 11).
2
aa'nın her bir olası değeri için b+cb+c toplamını bulunuz ve bu toplamı veren 'birbirinden farklı' asal sayı ikililerinin varlığını kontrol ediniz.
3
a=2a=2 olduğunda b+c=77b+c=77 olur. İki asal sayının toplamı tek sayı (77) ise, biri mutlaka 2 olmalıdır. Ancak aa zaten 2 olduğu için bu durum mümkün müdür?

Practice More

İki asal sayının kareleri farkının bir asal sayıya eşit olduğu durumları inceleyen sorular çözebilirsiniz.
Estimated Time:4m 0s
Rate this question

Topics

Asal Sayılar

More questions from this topic