Examkin

Question

Difficulty: HardÜçgende Yardımcı Elemanlar

[AB]⊥[AC][AB] \perp [AC] olan ABCABC dik üçgeninde, [BN][BN] doğru parçası ABC^\widehat{ABC} açısına ait iç açıortaydır.

NN noktası [AC][AC] kenarı üzerinde olmak üzere; ∣AN∣=3|AN| = 3 cm ve ∣NC∣=5|NC| = 5 cm olduğuna göre, ∣BN∣|BN| kaç santimetredir?

  1. A
    323\sqrt{2}
  2. B
    6
  3. 353\sqrt{5}Answer
  4. D
    8
  5. E
    10

Answer

Doğru cevap 353\sqrt{5} değeridir.
Açıortay teoremi ile kenarlar arasındaki 3/5 oranı belirlenir. Büyük üçgende Pisagor bağıntısı uygulanarak kenarların gerçek uzunlukları (∣AB∣=6|AB|=6, ∣BC∣=10|BC|=10) bulunur. Son adımda ABNABN dik üçgeninde tekrar Pisagor uygulanarak açıortay uzunluğu hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Açıortay teoremini kullanarak kenar oranlarını belirle.
İç açıortay teoremine göre ∣AB∣∣BC∣=∣AN∣∣NC∣=35\frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|AN|}{|NC|} = \frac{3}{5}'tir.
Bir üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranına göre böler.
2
Bilinmeyen kenarları kk sabiti cinsinden ifade et ve Pisagor teoremini uygula.
∣AB∣=3k|AB| = 3k ve ∣BC∣=5k|BC| = 5k olsun. ABCABC dik üçgeninde (3k)2+(3+5)2=(5k)2(3k)^2 + (3+5)^2 = (5k)^2 denklemi kurulur.
Büyük dik üçgende Pisagor bağıntısı uygulanarak orantı sabiti bulunmalıdır.
3
Denklemi çözerek kk değerini ve ∣AB∣|AB| uzunluğunu bul.
9k2+64=25k2⇒16k2=64⇒k2=4⇒k=29k^2 + 64 = 25k^2 \Rightarrow 16k^2 = 64 \Rightarrow k^2 = 4 \Rightarrow k = 2. Buradan ∣AB∣=3k=6|AB| = 3k = 6 cm bulunur.
Bilinmeyen kenarı bulmak için denklem çözülür.
4
ABNABN üçgeninde Pisagor uygulayarak ∣BN∣|BN| uzunluğunu hesapla.
∣BN∣2=∣AB∣2+∣AN∣2⇒∣BN∣2=62+32=36+9=45|BN|^2 = |AB|^2 + |AN|^2 \Rightarrow |BN|^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45. Sonuç ∣BN∣=45=35|BN| = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} cm.
İstenen açıortay uzunluğu, oluşan küçük dik üçgenin hipotenüsüdür.

Key Concept

İç Açıortay Teoremi ve Pisagor Bağıntısı

Hints

1
İç açıortay teoremini hatırlayın: Açıortayın böldüğü parçaların oranı, o parçalara komşu olan kenarların oranına eşittir.
2
∣AB∣|AB| ve ∣BC∣|BC| kenarlarına sırasıyla 3k3k ve 5k5k diyerek büyük üçgende Pisagor bağıntısı uygulayın.

Alternative Method

İç açıortay uzunluğu formülü (∣BN∣2=∣AB∣⋅∣BC∣−∣AN∣⋅∣NC∣|BN|^2 = |AB|\cdot|BC| - |AN|\cdot|NC|) kullanılarak da çözülebilir: ∣BN∣2=6⋅10−3⋅5=60−15=45|BN|^2 = 6\cdot10 - 3\cdot5 = 60 - 15 = 45.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Üçgende Yardımcı Elemanlar

More questions from this topic