Examkin

Question

Difficulty: HardAsal Sayılar
x1x_1 ve x2x_2 birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere, kökleri x1x_1 ve x2x_2 olan
x2−Mx+N=0x^2 - Mx + N = 0

ikinci dereceden denklemi veriliyor.
M+N=41M + N = 41

olduğuna göre, N−MN - M farkı kaçtır?

  1. A
    9
  2. 11Answer
  3. C
    13
  4. D
    15
  5. E
    19

Answer

Doğru cevap 11'dir.
Verilen denklemde kök-katsayı bağıntıları kullanıldığında MM kökler toplamı, NN ise kökler çarpımıdır. x1+x2+x1x2=41x_1 + x_2 + x_1 x_2 = 41 eşitliğinde her iki tarafa 1 eklenirse (x1+1)(x2+1)=42(x_1+1)(x_2+1)=42 elde edilir. Köklerin asal sayı olma şartını sağlayan tek çözüm x1=2x_1=2 ve x2=13x_2=13 değerleridir. Buradan N=26N=26 ve M=15M=15 bulunur, farkları 11'dir.

Step-by-Step Solution

1
İkinci dereceden denklem özelliklerini (kök-katsayı bağıntıları) kullanın.
M=x1+x2M = x_1 + x_2 (Kökler Toplamı) ve N=x1⋅x2N = x_1 \cdot x_2 (Kökler Çarpımı).
Verilen denklem x2−(toplam)x+(c\carpım)=0x^2 - (toplam)x + (çarpım) = 0 formatındadır.
2
Bulunan ifadeleri verilen eşitlikte yerine yazın.
x1+x2+x1⋅x2=41x_1 + x_2 + x_1 \cdot x_2 = 41
M ve N değerlerini asal kökler cinsinden ifade edip çözüme gitmek için.
3
Eşitliğin her iki tarafına 1 ekleyerek ifadeyi çarpanlarına ayırın (Simon Taktiği).
x1x2+x1+x2+1=42  ⟹  (x1+1)(x2+1)=42x_1 x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 42 \implies (x_1 + 1)(x_2 + 1) = 42
İki bilinmeyenli bir denklemde tamsayı/asal sayı çözümlerini bulmak için çarpım haline getirmek gerekir.
4
42 sayısının çarpanlarını inceleyerek x1x_1 ve x2x_2'nin asal sayı olduğu durumu belirleyin.
Çarpan çiftleri: (1,42), (2,21), (3,14), (6,7). Asal sayı şartını sağlayan tek çift: (3,14)  ⟹  x1+1=3,x2+1=14  ⟹  x1=2,x2=13(3, 14) \implies x_1+1=3, x_2+1=14 \implies x_1=2, x_2=13.
Diğer çarpanlar asal olmayan sayılar üretir (örn: 6 ve 7 seçilirse kökler 5 ve 6 olur, 6 asal değildir).
5
M ve N değerlerini hesaplayıp farkı bulun.
M=2+13=15M = 2 + 13 = 15, N=2⋅13=26N = 2 \cdot 13 = 26. Sonuç: N−M=26−15=11N - M = 26 - 15 = 11.
Soruda istenen nihai değeri bulmak için.

Key Concept

İkinci Dereceden Denklemler ve Asal Sayı Özellikleri

Hints

1
İkinci dereceden bir denklemde MM katsayısı kökler toplamını, NN katsayısı ise kökler çarpımını temsil eder.
2
Verilen x1+x2+x1⋅x2=41x_1 + x_2 + x_1 \cdot x_2 = 41 eşitliğini çözmek için eşitliğin her iki tarafına 1 ekleyerek çarpanlara ayırmayı deneyin.
3
(x1+1)(x2+1)=42(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 42 eşitliğinde, çarpanlardan her birinin 'bir asal sayının 1 fazlası' olması gerektiğini unutmayın.

Practice More

Kökleri tamsayı olan benzer denklemlerde negatif köklerin de olabileceği durumları inceleyin.

Alternative Method

Deneme-Yanılma: 41 sayısı çok büyük olmadığı için, küçük asal sayıları (2, 3, 5, 7...) deneyerek x1+x2+x1x2=41x_1 + x_2 + x_1 x_2 = 41 eşitliğini sağlayan çift aranabilir. x1=2x_1=2 için 2+x2+2x2=41  ⟹  3x2=39  ⟹  x2=132 + x_2 + 2x_2 = 41 \implies 3x_2 = 39 \implies x_2=13. Her ikisi de asal olduğu için çözüm doğrulanır.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Asal Sayılar

More questions from this topic