Examkin

Question

Difficulty: HardÜçgende Alan

Bir ABCABC üçgeninde GG noktası ağırlık merkezidir. GG noktasından geçen ve [BC][BC] kenarına paralel olan dd doğrusu, [AB][AB] kenarını DD noktasında kesmektedir. BB ile GG noktaları birleştirildiğinde oluşan BDGBDG üçgeninin alanı 44 cm 2^2 olduğuna göre, ABCABC üçgeninin tamamının alanı kaç cm 2^2 dir?

  1. A
    18
  2. B
    24
  3. C
    27
  4. 36Answer
  5. E
    54

Answer

36 cm 2^2
Ağırlık merkezi (GG), kenarortay üzerinde köşeye 22 birim, kenara 11 birim uzaklıktadır. DG∥BCDG \parallel BC paralel doğrusu çizildiğinde, Temel Benzerlik Teoremi gereği bu 2:12:1 oranı ABAB kenarı üzerinde de oluşur (∣AD∣=2k,∣DB∣=k|AD|=2k, |DB|=k). GG köşesi ortak olan ADGADG ve BDGBDG üçgenlerinin alanları tabanlarıyla orantılıdır. Tabanı kk olan BDGBDG üçgeninin alanı 44 ise, tabanı 2k2k olan ADGADG üçgeninin alanı 88 olur. Böylece ABGABG üçgeninin toplam alanı 4+8=124+8=12 cm 2^2 bulunur. Ağırlık merkezi, büyük üçgenin alanını 33 eşit parçaya (ABG,BGC,AGCABG, BGC, AGC) ayırdığından, tüm alan 3×12=363 \times 12 = 36 cm 2^2 dir.

Step-by-Step Solution

1
Ağırlık merkezi ve benzerlik oranını belirle
∣AG∣=2∣GM∣|AG| = 2|GM| ve ∣AD∣=2∣DB∣|AD| = 2|DB|
GG ağırlık merkezi kenarortayı 2:12:1 oranında böler. DG∥BCDG \parallel BC olduğundan Thales teoremi gereği bu oran [AB][AB] kenarında da korunur.
2
ABGABG üçgenindeki alan dağılımını hesapla
Alan(ABGABG) =3×= 3 \times Alan(BDGBDG) =12= 12 cm 2^2
ADGADG ve BDGBDG üçgenlerinin yükseklikleri ortaktır (GG'den ABAB'ye inen dikme). Alanlar tabanlar oranına eşittir. ∣AD∣=2∣DB∣|AD|=2|DB| olduğundan Alan(ADGADG)=2Alan(BDGBDG). Toplam Alan(ABGABG) = 3Alan(BDGBDG).
3
Toplam alanı bul
Alan(ABCABC) =3×12=36= 3 \times 12 = 36 cm 2^2
Ağırlık merkezi ile köşeler birleştirildiğinde oluşan üç üçgenin (ABGABG, BGCBGC, AGCAGC) alanları eşittir. Dolayısıyla toplam alan ABGABG alanının 33 katıdır.

Key Concept

Ağırlık merkezi kenarortayı 2:12:1 oranında böler ve üçgenin alanını 3 eşit parçaya ayırır.

Hints

1
Ağırlık merkezi kenarortayı hangi oranda böler?
2
GG noktasından geçen paralel doğru, kenarları da aynı oranda (2:12:1) böler. Bu oranı ABAB kenarına taşıyın.
3
ABGABG üçgeninin alanı, verilen BDGBDG üçgeninin alanının 3 katıdır. Toplam alan ise ABGABG alanının 3 katıdır.

Practice More

Benzer kurguda, DD ve EE noktalarından geçen yamuğun alanı verilip toplam alanın sorulduğu soruları inceleyin.

Alternative Method

Benzerlik oranı k=2/3k=2/3 olduğundan Alan(ADEADE) / Alan(ABCABC) = (2/3)2=4/9(2/3)^2 = 4/9. Kalan yamuğun alanı 5/95/9. Bu oranlardan giderek de çözülebilir ancak BGDBGD parçasını bulmak için yine taban oranlarına dönmek gerekir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Üçgende Alan

More questions from this topic