Examkin

Question

Difficulty: HardAsal Sayılar

a,ba, b ve cc birbirinden farklı asal sayılardır.

a⋅(b+c)=2a2+14a \cdot (b + c) = 2a^2 + 14

olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

  1. A
    13
  2. B
    17
  3. C
    19
  4. 23Answer
  5. E
    25

Answer

Doğru cevap 23'tür.
Verilen eşitlik düzenlendiğinde b+c=2a+14/ab+c = 2a + 14/a elde edilir. aa asal sayısı 14'ü bölmek zorunda olduğu için aa sadece 2 veya 7 olabilir. a=2a=2 denendiğinde b+c=11b+c=11 olur; ancak bu durumda asal sayı şartları ve 'birbirinden farklı' olma kuralı sağlanamaz. a=7a=7 için b+c=16b+c=16 bulunur ve (3,13)(3,13) veya (5,11)(5,11) ikilileri tüm şartları sağlar. Böylece toplam 7+16=237+16=23 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliği düzenleyerek b+cb+c ifadesini aa cinsinden yaz.
b+c=2a2+14a=2a+14ab+c = \frac{2a^2 + 14}{a} = 2a + \frac{14}{a}
Değişkenler arasındaki ilişkiyi görmek ve tam sayı bölenlerini analiz etmek için.
2
aa bir asal sayı olduğu için 14a\frac{14}{a} ifadesinin tam sayı olması gerekliliğini kullan.
aa sayısı 14'ün asal çarpanları olan 2 veya 7 olabilir.
Asal sayılar sadece 1'e ve kendisine bölünür; 14'ü bölen asallar {2,7}\{2, 7\} kümesidir.
3
a=2a=2 durumunu incele.
b+c=2(2)+7=11b+c = 2(2) + 7 = 11. Toplamı 11 olan asallar için biri çift (2) olmalıdır. b=2,c=9b=2, c=9 (9 asal değil) veya b=9,c=2b=9, c=2. Ayrıca a=b=2a=b=2 olacağı için 'birbirinden farklı' şartı sağlanmaz.
Çözümün kısıtlamalara uygunluğunu kontrol etmek.
4
a=7a=7 durumunu incele.
b+c=2(7)+2=16b+c = 2(7) + 2 = 16. Toplamı 16 olan asal sayı çiftleri: (3,13)(3, 13) ve (5,11)(5, 11). Her iki durumda da sayılar {7,3,13}\{7, 3, 13\} veya {7,5,11}\{7, 5, 11\} olur ve hepsi birbirinden farklıdır.
Geçerli çözüm kümesini belirlemek.
5
a+b+ca+b+c toplamını hesapla.
7+16=237 + 16 = 23.
Sonuca ulaşmak.

Key Concept

Asal Sayıların Özellikleri ve Bölünebilme

Hints

1
Eşitliği b+cb+c ifadesini yalnız bırakacak şekilde düzenleyin ve aa sayısının hangi sayıları bölebileceğini düşünün.
2
b+c=2a+14ab+c = 2a + \frac{14}{a} eşitliğinde, sonucun tam sayı olması için aa'nın 14'ün asal çarpanlarından biri olması gerekir.
3
aa sadece 2 veya 7 olabilir. Her iki durumu deneyerek bb ve cc'nin de asal sayı ve aa'dan farklı olduğu durumu bulun.

Practice More

Asal çarpanlara ayırma ve asal sayıların toplamı ile ilgili benzer sorular çözülebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Asal Sayılar

More questions from this topic