Examkin

Question

Difficulty: HardAsal Sayılar

x,yx, y ve zz birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere, x<y<zx < y < z sıralaması veriliyor.

x⋅y+y⋅z=105x \cdot y + y \cdot z = 105

olduğuna göre, zz sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    19
  2. 32Answer
  3. C
    33
  4. D
    46
  5. E
    65

Answer

Z'nin alabileceği değerler 19 ve 13 olup toplamları 32'dir.
Verilen denklem çarpanlarına ayrıldığında y(x+z)=105y(x+z) = 105 elde edilir. 105'in asal çarpanları 3, 5 ve 7'dir. yy bu değerleri alabilir ancak x<y<zx<y<z koşulu ve sayıların asal olma şartı test edilmelidir. Yapılan incelemede sadece y=5y=5 için z=19z=19 ve y=7y=7 için z=13z=13 değerleri koşulları sağlar. Bu değerlerin toplamı 32'dir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeyi ortak çarpan parantezine alma
y(x+z)=105y(x + z) = 105
İfadeyi çarpanlarına ayırarak asal sayı olan y'nin alabileceği değerleri belirlemek için.
2
105 sayısının asal çarpanlarını belirleme ve y için olası değerleri test etme
105=3⋅5⋅7105 = 3 \cdot 5 \cdot 7. yy bir asal çarpan olduğu için y∈{3,5,7}y \in \{3, 5, 7\} olabilir.
Eşitliğin sağlanması için y, 105'in asal çarpanlarından biri olmalıdır.
3
y = 3 durumunu inceleme
x<3⇒x=2x < 3 \Rightarrow x=2. 3(2+z)=105⇒2+z=35⇒z=333(2+z)=105 \Rightarrow 2+z=35 \Rightarrow z=33. 33 asal değildir (3⋅113 \cdot 11).
Bu durumda geçerli bir asal sayı üçlüsü elde edilemez.
4
y = 5 durumunu inceleme
x<5⇒x∈{2,3}x < 5 \Rightarrow x \in \{2, 3\}.
Eğer x=2x=2 ise: 5(2+z)=105⇒2+z=21⇒z=195(2+z)=105 \Rightarrow 2+z=21 \Rightarrow z=19. 19 asaldır. (Sıralama 2<5<192<5<19 ✓)
Eğer x=3x=3 ise: 5(3+z)=105⇒3+z=21⇒z=185(3+z)=105 \Rightarrow 3+z=21 \Rightarrow z=18 (Asal değil).
Bu durumda sadece z=19 geçerli bir çözümdür.
5
y = 7 durumunu inceleme
x<7⇒x∈{2,3,5}x < 7 \Rightarrow x \in \{2, 3, 5\}. Denklemi 7(x+z)=105⇒x+z=157(x+z)=105 \Rightarrow x+z=15 şeklinde çözelim.
Eğer x=2x=2 ise: z=13z=13 (Asal). (Sıralama 2<7<132<7<13 ✓)
Diğer x değerleri için z asal çıkmaz.
Bu durumda sadece z=13 geçerli bir çözümdür.
6
Bulunan geçerli z değerlerini toplama
19+13=3219 + 13 = 32
Soruda z'nin alabileceği değerlerin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Asal Çarpanlar ve Asal Sayı Özellikleri

Hints

1
İfadeyi yy parantezine alarak 105 sayısının çarpanlarını düşünün.
2
105 sayısının asal çarpanları 3, 5 ve 7'dir. yy bu değerlerden biri olmalıdır. Her bir durum için xx ve zz değerlerini bulup asal olup olmadıklarını kontrol edin.
3
y=3y=3 için z=33z=33 çıkar (asal değil). y=5y=5 ve y=7y=7 durumlarını deneyerek geçerli zz asallarını bulun.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Asal Sayılar

More questions from this topic