Examkin

Question

Difficulty: HardÜçgende Alan

Kenar uzunlukları 1010 cm, 1717 cm ve 2121 cm olan bir çeşitkenar üçgenin en uzun kenarına ait yüksekliği kaç santimetredir?

  1. A
    6
  2. 8Answer
  3. C
    12
  4. D
    15
  5. E
    84

Answer

En uzun kenara (21 cm) ait yükseklik 8 cm'dir.
Üçgenin kenarları 10, 17 ve 21 cm'dir. En uzun kenar 21 cm olduğundan, bu kenara inen yükseklik sorulmaktadır. Önce Heron formülüyle alan hesaplanır: u=(10+17+21)/2=24u = (10+17+21)/2 = 24. Alan = 24⋅3⋅7⋅14=84\sqrt{24 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 14} = 84 cm². Sonra A=(taban⋅yu¨kseklik)/2A = (taban \cdot yükseklik)/2 formülünden 84=(21⋅h)/284 = (21 \cdot h)/2 denklemi kurulur ve h=8h=8 bulunur. Alternatif olarak, yükseklik tabanı xx ve 21−x21-x olarak böler; 102−x2=172−(21−x)210^2 - x^2 = 17^2 - (21-x)^2 denkleminden x=6x=6 ve h=8h=8 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Üçgenin kenar uzunlukları a=21a=21, b=17b=17, c=10c=10 olarak belirlenir. Yarı çevre (uu) hesaplanır.
u=10+17+212=482=24u = \frac{10 + 17 + 21}{2} = \frac{48}{2} = 24 cm.
Heron alan formülünü kullanmak için yarı çevreye ihtiyaç vardır.
2
Heron formülü ile üçgenin alanı (AA) hesaplanır: A=u(u−a)(u−b)(u−c)A = \sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)}.
A=24⋅(24−21)⋅(24−17)⋅(24−10)=24⋅3⋅7⋅14A = \sqrt{24 \cdot (24-21) \cdot (24-17) \cdot (24-10)} = \sqrt{24 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 14}. Çarpanlara ayrılarak kök dışına çıkarılır: A=(8⋅3)⋅3⋅7⋅(2⋅7)=16⋅9⋅49=4⋅3⋅7=84A = \sqrt{(8 \cdot 3) \cdot 3 \cdot 7 \cdot (2 \cdot 7)} = \sqrt{16 \cdot 9 \cdot 49} = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84 cm².
Üç kenarı bilinen üçgenin alanını bulmanın en garantili yolu Heron formülüdür.
3
Alan formülü (A=12⋅taban⋅yu¨kseklikA = \frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik}) kullanılarak en uzun kenara (2121 cm) ait yükseklik (hh) bulunur.
84=12⋅21⋅h⇒168=21⋅h⇒h=884 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot h \Rightarrow 168 = 21 \cdot h \Rightarrow h = 8 cm.
Bulunan alan değeri ile taban uzunluğu kullanılarak yükseklik elde edilir.

Key Concept

Heron Alan Formülü ve Yükseklik Bağıntısı

Hints

1
Üç kenar uzunluğu verilen bir üçgenin alanını bulmak için Heron formülünü veya yüksekliği bulmak için Pisagor bağıntısını (tabanı ikiye bölerek) kullanabilirsiniz.
2
Önce üçgenin alanını hesaplayın. Yarı çevre u=(10+17+21)/2u = (10+17+21)/2 formülünü kullanın.
3
Alan = 84 cm² çıkacaktır. Şimdi Alan=(Taban×Yu¨kseklik)/2Alan = (Taban \times Yükseklik) / 2 formülünde taban olarak en uzun kenarı (21 cm) kullanarak yüksekliği çekin.

Practice More

Benzer şekilde kenarları 13, 14, 15 cm olan üçgenin alanını ve yüksekliklerini bulunuz.

Alternative Method

Tabanı xx ve 21−x21-x olarak ayıran dikme çizilip iki denklem kurulabilir: h2+x2=102h^2 + x^2 = 10^2 ve h2+(21−x)2=172h^2 + (21-x)^2 = 17^2. Bu denklem sisteminden x=6x=6 bulunur, yerine konulursa h=8h=8 elde edilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Üçgende Alan

More questions from this topic