Examkin

Question

Difficulty: MediumÜçgende Yardımcı Elemanlar

ABC bir üçgen ve G noktası bu üçgenin ağırlık merkezidir.

BG⊥CGBG \perp CG olmak üzere;
∣BG∣=6|BG| = 6 cm ve ∣CG∣=8|CG| = 8 cm olduğuna göre, ∣AG∣|AG| uzunluğu kaç cm'dir?

  1. A
    5
  2. B
    8
  3. 10Answer
  4. D
    12
  5. E
    15

Answer

AG uzunluğu 10 cm'dir.
Öncelikle BGCBGC üçgeninde Pisagor bağıntısı veya 6-8-10 özel üçgeni kuralı ile ∣BC∣=10|BC|=10 cm bulunur. GG noktası ağırlık merkezi olduğu için, AA köşesinden gelen kenarortay GG noktasından geçer ve BCBC kenarını ortalar (bu noktaya DD diyelim). BGCBGC dik üçgen olduğu için 'Muhteşem Üçlü' kuralı gereği hipotenüse ait kenarortay (GDGD), hipotenüsün yarısıdır (∣GD∣=5|GD|=5 cm). Son olarak, ağırlık merkezi kenarortayı 1'e 2 oranında böldüğü için ∣AG∣=2⋅∣GD∣|AG| = 2 \cdot |GD| formülünden ∣AG∣=10|AG| = 10 cm bulunur.

Step-by-Step Solution

1
BGC üçgeninde Pisagor bağıntısını uygula.
∣BG∣=6|BG|=6 ve ∣CG∣=8|CG|=8 olduğu için, 6−8−106-8-10 özel üçgeninden ∣BC∣=10|BC| = 10 cm bulunur.
BG ve CG dik kesiştiği için BGC dik üçgendir.
2
Ağırlık merkezinden geçen kenarortay doğrusunu çiz ve 'Muhteşem Üçlü' özelliğini kullan.
AG doğrusunu uzatıp BC'yi kestiği noktaya D diyelim. BGC dik üçgeninde hipotenüse ait kenarortay (GD), hipotenüsün yarısıdır. ∣GD∣=∣BC∣/2=10/2=5|GD| = |BC| / 2 = 10 / 2 = 5 cm.
Dik üçgende hipotenüse indirilen kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir.
3
Ağırlık merkezi oran özelliğini kullanarak AG uzunluğunu hesapla.
G ağırlık merkezi kenarortayı 1'e 2 oranında böler (∣AG∣=2⋅∣GD∣|AG| = 2 \cdot |GD|). Buna göre ∣AG∣=2⋅5=10|AG| = 2 \cdot 5 = 10 cm.
Ağırlık merkezi köşeye 2 birim, kenara 1 birim uzaklıktadır.

Key Concept

Ağırlık Merkezi ve Muhteşem Üçlü

Hints

1
BGC üçgeninde Pisagor bağıntısını kullanarak BC uzunluğunu bulunuz.
2
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün yarısıdır (Muhteşem Üçlü).
3
Ağırlık merkezi, kenarortayı 1 birim kenara, 2 birim köşeye olacak şekilde böler (∣AG∣=2∣GD∣|AG| = 2|GD|).

Practice More

Benzer bir soruda hipotenüs uzunluğu verilip ağırlık merkezinin köşeye uzaklığı sorulabilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Üçgende Yardımcı Elemanlar

More questions from this topic