Examkin

Question

Difficulty: MediumKatı Cisimler

Taban yarıçapı 66 cm ve yüksekliği 1212 cm olan dik dairesel bir koni, yüksekliğinin tam orta noktasından tabana paralel bir düzlemle kesiliyor.

Buna göre, oluşan kesik koninin (alt parçanın) hacmi kaç π\pi cm3\text{cm}^3 tür?

  1. A
    18
  2. B
    36
  3. C
    72
  4. 126Answer
  5. E
    144

Answer

126
Doğru cevap 126'dır. Başlangıçtaki koninin hacmi 144π144\pi'dir. Yükseklik yarıdan kesildiği için oluşan küçük koninin hacmi toplamın 1/8'i, yani 18π18\pi'dir. Kalan parça (kesik koni) ise 144π−18π=126π144\pi - 18\pi = 126\pi olur.

Step-by-Step Solution

1
Büyük koninin toplam hacmini hesapla.
Vbu¨yu¨k=13πr2h=13π(62)(12)=144πV_{büyük} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (6^2)(12) = 144\pi cm3\text{cm}^3
Koninin hacim formülü V=13πr2hV = \frac{1}{3}\pi r^2 h kullanılarak başlangıç hacmi bulunur.
2
Benzerlik oranını ve kesilen küçük koninin hacmini belirle.
Benzerlik oranı k=12k = \frac{1}{2} olduğundan hacimler oranı k3=18k^3 = \frac{1}{8}'dir. Vku¨c\cu¨k=144π8=18πV_{küçük} = \frac{144\pi}{8} = 18\pi cm3\text{cm}^3.
Yükseklik tam ortadan kesildiği için benzerlik oranı 1/21/2'dir. Hacimler oranı benzerlik oranının küpüdür.
3
Kesik koninin hacmini bulmak için küçük koninin hacmini toplam hacimden çıkar.
Vkesik=Vbu¨yu¨k−Vku¨c\cu¨k=144π−18π=126πV_{kesik} = V_{büyük} - V_{küçük} = 144\pi - 18\pi = 126\pi cm3\text{cm}^3.
Kesik koni (alt parça), tüm koniden üstteki parça atılarak elde edilir.

Key Concept

Kati cisimlerde benzerlik oranı kk ise, hacimler oranı k3k^3'tür.

Hints

1
Önce kesilmemiş büyük koninin toplam hacmini hesaplayın.
2
Konilerde yükseklikler oranı benzerlik oranını verir (kk). Hacimler oranı ise benzerlik oranının küpüdür (k3k^3).
3
Benzerlik oranı 1/21/2 olduğu için üstteki küçük koninin hacmi toplam hacmin 1/81/8'idir. Toplam hacimden bu parçayı çıkarın.

Practice More

Benzerlik oranı 1/3 olan bir piramidin kesik hacmini hesaplayın.

Alternative Method

Kesik koni hacim formülü: V=13πh(R2+r2+R⋅r)V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + r^2 + R\cdot r). Burada R=6R=6, r=3r=3 ve kesik parça yüksekliği h=6h=6 alınarak doğrudan hesaplanabilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Katı Cisimler

More questions from this topic