Examkin

Question

Difficulty: HardKatı Cisimler

Yarıçapı 4 cm olan dairesel bir levhadan, merkez açısı 90∘90^\circ olan bir dilim kesilerek atılıyor. Geriye kalan büyük parça kıvrılarak, yarıçapları çakışacak şekilde bir dik dairesel koni oluşturuluyor.

Buna göre, oluşturulan bu koninin hacmi kaç cm3cm^3 tür?

  1. 37π3\sqrt{7}\piAnswer
  2. B
    97π9\sqrt{7}\pi
  3. C
    12π12\pi
  4. D
    15π15\pi
  5. E
    16π16\pi

Answer

Elde edilen koninin hacmi 37π3\sqrt{7}\pi cm3cm^3 tür.
Soruda verilen 270∘270^\circ lik daire dilimi kıvrıldığında, koninin taban yarıçapı r=3r=3 cm ve ana doğrusu l=4l=4 cm olur. Pisagor bağıntısı ile yükseklik h=7h=\sqrt{7} cm bulunur. Hacim formülü uygulandığında sonuç 37π3\sqrt{7}\pi çıkar.

Step-by-Step Solution

1
Kullanılan daire diliminin merkez açısını ve koninin taban yarıçapını (rr) belirle.
Atılan parça 90∘90^\circ olduğundan kalan açı 360∘−90∘=270∘360^\circ - 90^\circ = 270^\circ olur. Benzerlik oranı rl=α360\frac{r}{l} = \frac{\alpha}{360} formülünden; r4=270360⇒r4=34⇒r=3\frac{r}{4} = \frac{270}{360} \Rightarrow \frac{r}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow r = 3 cm bulunur.
Daire dilimi koniye dönüştürüldüğünde, dilimin yay uzunluğu koninin taban çevresine eşittir.
2
Koninin yüksekliğini (hh) Pisagor bağıntısı ile hesapla.
Konide h2+r2=l2h^2 + r^2 = l^2 bağıntısı vardır. h2+32=42⇒h2+9=16⇒h2=7⇒h=7h^2 + 3^2 = 4^2 \Rightarrow h^2 + 9 = 16 \Rightarrow h^2 = 7 \Rightarrow h = \sqrt{7} cm bulunur.
Koninin ana doğrusu (ll), taban yarıçapı (rr) ve yüksekliği (hh) bir dik üçgen oluşturur.
3
Koninin hacmini hesapla.
V=13πr2h=13π(32)(7)=13π(9)(7)=37πV = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (3^2)(\sqrt{7}) = \frac{1}{3}\pi (9)(\sqrt{7}) = 3\sqrt{7}\pi cm3cm^3.
Dik dairesel koninin hacim formülü V=13πr2hV = \frac{1}{3}\pi r^2 h şeklindedir.

Key Concept

Daire diliminden koni oluşturma ve hacim hesabı

Hints

1
Bir daire dilimi koni yapıldığında, dilimin yarıçapı koninin 'ana doğrusu' (ll), dilimin yay uzunluğu ise koninin 'taban çevresi' (2πr2\pi r) olur.
2
Koninin taban yarıçapını bulmak için rl=α360\frac{r}{l} = \frac{\alpha}{360} orantısını kullanabilirsiniz. Burada α\alpha, kullanılan parçanın açısıdır (360−90360 - 90). sonra Pisagor ile yüksekliği (hh) bulunuz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Katı Cisimler

More questions from this topic