Examkin

Question

Difficulty: MediumÜçgende Benzerlik

Bir teknik çizimde ABCABC üçgeni biçimindeki bir levha üzerinde D∈[AB]D \in [AB] ve E∈[AC]E \in [AC] noktaları işaretlenmiştir. m(ADE^)=m(ACB^)m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ACB}), ∣AD∣=4 cm|AD| = 4 \text{ cm}, ∣AE∣=5 cm|AE| = 5 \text{ cm} ve ∣EC∣=3 cm|EC| = 3 \text{ cm} olduğu bilinmektedir. Buna göre, ∣DB∣|DB| uzunluğu kaç cm'dir?

  1. A
    4
  2. B
    5
  3. 6Answer
  4. D
    8
  5. E
    10

Answer

Levha üzerindeki ∣DB∣|DB| uzunluğu 6 cm'dir.
Verilen ABCABC ve ADEADE üçgenlerinde AA açısı ortak olup DD ve CC açılarının ölçüleri eşit verildiğinden, bu üçgenler Açı-Açı kuralına göre benzerdir. Benzerlik oranı kurulduğunda ADAD kenarının ACAC kenarına oranı, AEAE kenarının ABAB kenarına oranına eşittir. Bu oranlardan yola çıkarak 4/8=5/(4+∣DB∣)4/8 = 5/(4+|DB|) denklemi elde edilir ve buradan ∣DB∣=6|DB| = 6 cm olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Üçgenler arasındaki benzerliği tespit etme
△ADE∼△ACB\triangle ADE \sim \triangle ACB
A^\widehat{A} açısı her iki üçgen için ortaktır ve soruda m(ADE^)=m(ACB^)m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ACB}) olarak verilmiştir. Açı-Açı (A.A.) benzerlik kuralına göre bu iki üçgen benzerdir.
2
Benzerlik oranını yazma
∣AD∣∣AC∣=∣AE∣∣AB∣\frac{|AD|}{|AC|} = \frac{|AE|}{|AB|}
Benzer üçgenlerde eşit açıların karşısındaki kenarlar orantılıdır.
3
Verilen değerleri yerine koyma ve denklem kurma
45+3=54+∣DB∣\frac{4}{5+3} = \frac{5}{4+|DB|}
∣AC∣=∣AE∣+∣EC∣=5+3=8 cm|AC| = |AE| + |EC| = 5 + 3 = 8 \text{ cm} ve ∣AB∣=∣AD∣+∣DB∣=4+∣DB∣|AB| = |AD| + |DB| = 4 + |DB|'dir.
4
Denklemi çözme
∣DB∣=6|DB| = 6
48=54+∣DB∣⇒12=54+∣DB∣⇒4+∣DB∣=10⇒∣DB∣=6 cm\frac{4}{8} = \frac{5}{4+|DB|} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{5}{4+|DB|} \Rightarrow 4 + |DB| = 10 \Rightarrow |DB| = 6 \text{ cm} bulunur.

Key Concept

İki üçgende ikişer açının ölçüleri birbirine eşitse, bu üçgenler benzerdir (A.A. Benzerliği). Benzer üçgenlerin kenar uzunlukları arasında sabit bir oran vardır.

Hints

1
İki üçgenin açılarını inceleyerek hangi açıların birbirine eşit olduğunu belirleyin.
2
A açısının her iki üçgende de ortak olduğunu fark edin. Bu durumda ADE ve ACB üçgenleri benzerdir.
3
Benzerlik oranını kurarken aynı açının karşısındaki kenarları birbirine oranlayın: AD/AC=AE/ABAD/AC = AE/AB.

Practice More

Benzerlik oranı ile alanlar arasındaki ilişkiyi pekiştirmek için bu iki üçgenin alanları oranını (k2k^2) hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Benzerlik oranı k=4/8=1/2k = 4/8 = 1/2 olarak bulunur. Bu, küçük üçgenin kenarlarının büyük üçgenin ilgili kenarlarının yarısı olduğu anlamına gelir. AE=5AE = 5 ise, bu kenarın karşılık geldiği ABAB kenarı 5×2=105 \times 2 = 10 olmalıdır. AB=10AB = 10 ve AD=4AD = 4 olduğundan ∣DB∣=10−4=6|DB| = 10 - 4 = 6 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Üçgende Benzerlik

More questions from this topic